Скільки кутів у замкненій ламані, що накреслена на координатній площині з вершинами у точках (8; 0), (6; 2

Артём

51

Для того чтобы найти кількість кутів у замкненій ламані, яку утворюють дані точки на координатній площині, нам потрібно обчислити загальну суму кутів у даній фігурі. Для цього скористаємося фактом, що загальна сума кутів у будь-якому чотирикутнику дорівнює 360 градусів.

У нашому випадку, ми маємо 6 точок, які утворюють замкнену ламану. Точки подані в наступному порядку: (8; 0), (6; 2), (0; 6), (1; 4), (-1; 4), (-3; 3).

1. Розглянемо кожну пару сусідніх точок і обчислимо кут між ними.
2. Підрахуємо загальну суму кутів, утворених у цій ламані.

\[ \text{Спочатку, розглянемо вектори між точками:} \]
\[ \overrightarrow{AB} = (6 - 8, 2 - 0) = (-2, 2) \]
\[ \overrightarrow{BC} = (0 - 6, 6 - 2) = (-6, 4) \]
\[ \overrightarrow{CD} = (1 - 0, 4 - 6) = (1, -2) \]
\[ \overrightarrow{DE} = (-1 - 1, 4 - 4) = (-2, 0) \]
\[ \overrightarrow{EF} = (-3 - (-1), 3 - 4) = (-2, -1) \]
\[ \overrightarrow{FA} = (8 - (-3), 0 - 3) = (11, -3) \]

\[ \text{Тепер, обчислимо кути між векторами:} \]
\[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \lVert \overrightarrow{v} \rVert} \]
\[ \text{де} \, \overrightarrow{u} \, \text{і} \, \overrightarrow{v} \, \text{— вектори, а} \, \theta \, \text{— кут між ними.} \]

\[ \text{Обчислимо косинуси кутів між сусідніми векторами:} \]
\[ \cos \angle ABC = \frac{(-2 \cdot -6) + (2 \cdot 4)}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-6)^2 + 4^2}} = \frac{8}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}} \]
\[ \angle ABC = \arccos \left( \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}} \right) \]

\[ \text{Повторимо цей процес для інших відрізків і обчислимо суму усіх кутів.} \]
\[ \text{Сума усіх кутів у замкненій ламані} = \angle ABC + \angle BCD + \angle CDE + \angle DEF + \angle EFA \]

\[ \text{Отже, якщо обчислити значення кожного кута та їх суму, ми знайдемо кількість кутів у цій замкненій ламані.} \]