Скільки різних варіантів: 1) обрати лише одну пачку печива? 2) обрати дві шоколадки? 3) створити набір із пачки печива

Ruslan

36

Давайте решим задачу по очереди:

1) Чтобы определить, сколько различных вариантов выбрать только одну пачку печенья, мы можем использовать формулу для комбинаций без повторений. Формула имеет вид:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\]
где \(n\) - общее количество предметов, а \(k\) - количество предметов, которое мы выбираем.

В данном случае у нас есть только одна пачка печенья, поэтому \(n = 1\) и \(k = 1\). Подставляя значения в формулу, получаем:
\[C(1, 1) = \frac{{1!}}{{1! \cdot (1 - 1)!}} = \frac{{1}}{{1 \cdot 0!}} = 1\]

Таким образом, есть только один вариант выбрать одну пачку печенья.

2) Для определения количества вариантов выбора двух шоколадок, мы также можем использовать формулу для комбинаций без повторений:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\]
где \(n\) - общее количество предметов, а \(k\) - количество предметов, которое мы выбираем.

В данном случае у нас есть 8 шоколадок, поэтому \(n = 8\) и \(k = 2\). Подставляя значения в формулу, получаем:
\[C(8, 2) = \frac{{8!}}{{2! \cdot (8 - 2)!}} = \frac{{8!}}{{2! \cdot 6!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{2! \cdot 6!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2}} = 28\]

Таким образом, у нас есть 28 различных вариантов выбрать две шоколадки.

3) Чтобы определить количество различных вариантов создать набор из пачки печенья, коробки конфет и шоколадок, или набор из торта, шоколадок и зефира, мы можем использовать принцип сложения. Варианты выбора либо первого набора, либо второго набора.

Для первого набора у нас есть 1 пачка печенья (из предыдущего пункта), 9 коробок конфет и 8 шоколадок. Для второго набора у нас есть 1 торт, 8 шоколадок и 7 зефиров (из предыдущего пункта).

Общее количество вариантов будет:
Варианты первого набора + Варианты второго набора = Варианты объединенного набора
\(1 + 1 = 2\)

Таким образом, у нас есть 2 различных варианта создать набор из пачки печенья, коробки конфет и шоколадок, или набор из торта, шоколадок и зефира.

4) Чтобы определить количество различных вариантов выбрать две коробки конфет, торт и две шоколадки, мы снова можем использовать формулу для комбинаций без повторений:
\(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\)
где \(n\) - общее количество предметов, а \(k\) - количество предметов, которое мы выбираем.

В данном случае у нас есть 9 коробок конфет, 1 торт и 8 шоколадок, поэтому \(n = 9 + 1 + 8 = 18\) и \(k = 2 + 1 + 2 = 5\). Подставляя значения в формулу, получаем:
\(C(18, 5) = \frac{{18!}}{{5! \cdot (18 - 5)!}} = \frac{{18!}}{{5! \cdot 13!}} = \frac{{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 6188\)

Таким образом, у нас есть 6188 различных вариантов выбирать две коробки конфет, торт и две шоколадки.

5) Чтобы определить количество различных вариантов расположения шоколадок в ряд для украшения витрины, мы можем использовать формулу для перестановок без повторений:
\(P(n) = n!\)
где \(n\) - общее количество предметов.

В данном случае у нас есть 8 шоколадок, поэтому \(n = 8\). Подставляя значение в формулу, получаем:
\(P(8) = 8! = 40320\)

Таким образом, у нас есть 40320 различных вариантов расположения шоколадок в ряд для украшения витрины.

6) Чтобы определить количество различных вариантов расположения шоколадок в ряд для украшения витрины так, чтобы ни три из них не были рядом, мы можем использовать принцип включений-исключений.

Для начала, определим количество всех возможных вариантов расположения шоколадок без каких-либо ограничений. Мы уже вычислили, что это 40320 (из предыдущего пункта).

Затем, вычислим количество вариантов, когда хотя бы три шоколадки идут рядом. Для этого мы можем рассмотреть каждую тройку шоколадок как одну единицу (поскольку они должны идти рядом), и затем использовать формулу для перестановок без повторений:
\(P(n) = n!\)
где \(n\) - общее количество предметов.

В данном случае, у нас есть 6 вариантов для каждой тройки шоколадок (поскольку нам не подходят варианты, когда все шоколадки идут рядом или только две из них). Поэтому, количество вариантов, когда хотя бы три шоколадки идут рядом, будет \(6 \times 6 = 36\).

Теперь, используем принцип включений-исключений, чтобы определить количество вариантов, когда ни три шоколадки не идут рядом:
Всего вариантов - Варианты, когда хотя бы три шоколадки идут рядом = Варианты, когда ни три шоколадки не идут рядом
\(40320 - 36 = 40284\)

Таким образом, у нас есть 40284 различных варианта расположения шоколадок в ряд для украшения витрины так, чтобы ни три из них не были рядом.

Надеюсь, эти подробные решения помогли вам понять задачу! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.