Скільки туристів було, якщо при розселенні по 6 туристів в кожний намет залишалось 5 туристам місць не вистачало

Pelikan

54

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть х - это количество туристов, которые пришли на кемпинг.

Согласно условию, при размещении по 6 туристов в каждую палатку, остается 5 свободных мест. Это значит, что остаток при делении х на 6 равен 5:

\[x \mod 6 = 5\]

Также по условию, при размещении по 7 туристов в каждую палатку, остается 6 свободных мест:

\[x \mod 7 = 6\]

Теперь решим эти два уравнения.

Из первого уравнения получаем:
\[x = 6k + 5\]

где k - это некоторое целое число, так как остаток от деления на 6 равен 5.

Подставим это значение x во второе уравнение:
\[6k + 5 \mod 7 = 6\]

Рассмотрим остатки при делении на 7. Заметим, что 6 + 5 равно 11, что даёт остаток 4 при делении на 7. Мы можем записать это так:
\[(6k + 5) \mod 7 = 4\]

Теперь решим это уравнение:
\[6k + 5 = 7m + 4\]

где m - это еще одно целое число, так как остаток от деления на 7 равен 4.

Перенесем все неизвестные влево, а числа в правую часть:
\[6k - 7m = -1\]

Найдем первое решение этого однородного диофантового уравнения. У нас есть несколько возможных способов решения, но простой способ - это метод пристального взгляда (опыт). Мы можем заметить, что одно из решений - пара чисел 1 и 1. Если мы продолжим добавлять или вычитать 14 из решений, мы получим все целочисленные решения.

Рассмотрим следующую пару чисел:
\[k_1 = 1, m_1 = 1\]

Теперь добавим \(14n\) к \(k_1\) и \(m_1\), где \(n\) - это любое целое число.
\[k = 1 + 14n, m = 1 + 14n\]

Теперь найдем значение \(x\) с использованием найденных \(k\) и \(m\):
\[x = 6k + 5 = 6(1 + 14n) + 5 = 6 + 84n + 5 = 84n + 11\]

Таким образом, общая формула для \(x\) - это \(84n + 11\), где \(n\) - любое целое число.

Теперь мы можем получить значения \(x\), которые удовлетворяют условиям задачи. Если \(x\) было бы меньше 0, оно бы не соответствовало условию задачи, так как это количество туристов не могло бы быть отрицательным. Таким образом, выбираем значение \(n\) таким образом, что \(84n + 11\) больше 0.

Например, при \(n = 1\), получим:
\[x = 84(1) + 11 = 95\]

Таким образом, если 95 туристов были, при размещении по 6 туристов в каждой палатке останется 5 свободных мест, а при размещении по 7 туристов останется 6 свободных мест.