Сколько 1 содержится в двоичной записи значения выражения 8^502 – 4^211 + 2^1536?

Viktorovich

30

Чтобы решить данную задачу, нам нужно вычислить значение выражения \(8^{502} - 4^{211} + 2^{1536}\) и посчитать, сколько символов "1" содержится в его двоичной записи.

Давайте начнем с пошагового решения этого выражения.

1. Вычислим \(8^{502}\):
Для этого мы можем воспользоваться знанием о свойствах степеней. В данном случае, мы знаем, что \(8 = 2^3\), поэтому \(8^{502} = (2^3)^{502}\), а затем применим свойство степени степени: \(8^{502} = 2^{3 \cdot 502}\).
Умножим показатель степени на 3: \(3 \cdot 502 = 1506\).
Итак, \(8^{502} = 2^{1506}\).

2. Вычислим \(4^{211}\):
Подобным образом, мы знаем, что \(4 = 2^2\), поэтому \(4^{211} = (2^2)^{211}\), и применим свойство степени степени: \(4^{211} = 2^{2 \cdot 211}\).
Умножим показатель степени на 2: \(2 \cdot 211 = 422\).
Итак, \(4^{211} = 2^{422}\).

3. Вычислим \(2^{1536}\):
Здесь нам уже не нужны какие-либо преобразования, поскольку уже имеем степень 2.

Теперь, чтобы вычислить значение всего выражения, просто вычтем \(4^{211}\) и прибавим \(2^{1536}\) к \(8^{502}\).

\[8^{502} - 4^{211} + 2^{1536} = 2^{1506} - 2^{422} + 2^{1536}\]

Теперь давайте переведем это значение в двоичную систему.

\[2^{1506} - 2^{422} + 2^{1536} = 1\underbrace{00\ldots00}_{1505\text{ нулей}} - 1\underbrace{00\ldots00}_{421\text{ ноль}} + 1\underbrace{00\ldots00}_{1535\text{ нулей}}\]

Чтобы определить, сколько символов "1" содержится в этой двоичной записи, нам нужно сложить число единиц в каждом множителе.

В первом множителе есть одна "1" в самом начале, а остальные позиции содержат ноль, поэтому сумма "1" равна 1.

Во втором множителе есть одна "1" в самом начале и все остальные позиции содержат ноль, поэтому сумма "1" равна 1.

В третьем множителе есть одна "1" в самом начале и все остальные позиции содержат ноль, поэтому сумма "1" равна 1.

Теперь сложим эти суммы "1" в каждом из трех множителей: 1 + 1 + 1 = 3.

Таким образом, в двоичной записи \(8^{502} - 4^{211} + 2^{1536}\) содержится 3 символа "1". Ответ: 3.