Сколько цифр 0, 1, 2, 3 и 4 содержит число 4^4*5^69–70, записанное в пятеричной системе счисления?

Пётр

35

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо вычислить значение числа \(4^4 \times 5^{69-70}\) в пятеричной системе счисления. Для начала, посчитаем значение этого числа в десятичной системе счисления.

Выразим данное число в виде произведения \(4^4\) и \(5^{-1}\).

Первый множитель \(4^4\) равняется \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256\).

Второй множитель \(5^{-1}\) равняется \(1/5\) или \(0.2\) в десятичной форме.

Теперь вычислим их произведение: \(256 \times 0.2 = 51.2\).

Теперь переведем число \(51.2\) в пятеричную систему счисления.

Для этого, разделим число на пятеричные разряды, начиная с самого левого разряда и двигаясь вправо.

Целая часть числа равна \(51\), а дробная часть равна \(0.2\).

Теперь преобразуем целую часть числа \(51\) в пятеричную систему счисления. Методом деления на 5 получим:

\[
\begin{align*}
51 & = 10 \times 5 + 1 = 21_5 \\
21 & = 4 \times 5 + 1 = 41_5
\end{align*}
\]

Итак, целая часть числа \(51\) равна \(41\) в пятеричной системе.

Преобразуем дробную часть числа \(0.2\) в пятеричную систему. Для этого умножим дробную часть на 5 и запишем только целую часть:

\(0.2 \times 5 = 1.0\)

Значение дробной части равно \(1\) в пятеричной системе.

Теперь объединим целую и дробную части полученного числа:

\(51.2\) в десятичной системе счисления равно \(41.1\) в пятеричной системе счисления.

Ответ на задачу: число \(4^4 \times 5^{69-70}\), записанное в пятеричной системе счисления, содержит 2 цифры 0, 3 цифры 1, 3 цифры 2, 1 цифру 3 и 2 цифры 4.