Сколько цифр 2 присутствует в записи числа, полученного при вычислении арифметического выражения 3^2017 + 9^1000

Изумруд

18

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

1. Вычислим значение арифметического выражения \(3^{2017} + 9^{1000} - 27\) в троичной системе счисления. Для этого воспользуемся свойствами степеней: \(3^{2017} = (3^3)^{672} \cdot 3^1\) и \(9^{1000} = (3^2)^{1000} = 3^{2000}\), поэтому выражение можно переписать как \((3^3)^{672} \cdot 3^1 + 3^{2000} - 3^3 = 3^{672 \cdot 3 + 1} + 3^{2000} - 3^3\).

2. Теперь рассмотрим каждую степень тройки отдельно. \(3^{2000}\) очевидно даст число, в записи которого будут только "1" и "0", без цифры "2".

3. Степень \(3^{672 \cdot 3 + 1}\) требует более тщательного рассмотрения. Для начала заметим, что \(672 \cdot 3 + 1\) является нечетным числом. Попробуем разложить это число на слагаемые вида \(3^k\), где \(k\) - нечетное число. Поскольку максимальная степень тройки равна \(3^3 = 27\), то мы можем записать \[672 \cdot 3 + 1 = 3^9 + 3^6 + 3^3 + 1.\]

4. Отлично! Теперь, когда мы разложили \(3^{672\cdot3+1}\) на сумму нечетных степеней тройки, осталось только вычислить его значение. Просто сложим слагаемые: \[3^9 + 3^6 + 3^3 + 1 = 19683 + 729 + 27 + 1 = 20440.\]

5. Таким образом, результат вычисления арифметического выражения в троичной системе счисления равен 20440. Теперь найдем количество цифр "2" в этом числе.

6. Для этого разложим число 20440 на цифры, проведя деление и остаток от деления на 3. Запишем эти цифры последовательно: 2, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 0.

7. Как видим, в записи числа 20440 имеются три цифры "2". Таким образом, ответ на задачу составляет 3.

Это пошаговое решение должно помочь школьнику понять, как получить ответ и почему он верный. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.