Сколько двузначных чисел можно получить, если поменять местами цифры и сложить с исходным числом, чтобы получить число

Черная_Магия

13

Чтобы решить эту задачу, давайте разложим ее на несколько шагов.

Шаг 1: Посмотрим на двузначные числа, которые можно получить, поменяв местами цифры исходного числа. Всего у нас есть 90 двузначных чисел (от 10 до 99), поэтому нам нужно рассмотреть все эти числа.

Шаг 2: Подсчитаем сумму каждого из этих чисел с исходным числом.

Например, пусть исходное число равно \(ab\), где \(a\) - десятки, а \(b\) - единицы. Если мы поменяем местами цифры, получим число \(ba\). Тогда мы должны сложить \(ab\) и \(ba\) и убедиться, что полученная сумма делится на 8.

Сумма двузначного числа и его перестановки будет \(ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a+b)\).

Шаг 3: Отметим двузначные числа, сумма которых делится на 8.

У нас есть 9 возможных значений для \(a\) (от 1 до 9) и 10 возможных значений для \(b\) (от 0 до 9). После сложения суммы \(11(a+b)\) должна быть кратна 8, то есть делиться на 8 без остатка.

Для этого, нам необходимо:

1) Определить, при каких значениях \(a+b\) сумма \(11(a+b)\) будет делиться на 8 без остатка.
2) Перечислить и объяснить все числа, у которых сумма \(a+b\) удовлетворяет требованиям из пункта 1.

Посмотрим на каждую ситуацию отдельно:

* Если \(a+b = 8\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 8 = 88\). Таким образом, число 88 удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 16\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 16 = 176\). Таким образом, число 176 тоже удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 24\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 24 = 264\). Таким образом, число 264 тоже удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 32\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 32 = 352\). Таким образом, число 352 тоже удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 40\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 40 = 440\). Таким образом, число 440 тоже удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 48\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 48 = 528\). Таким образом, число 528 тоже удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 56\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 56 = 616\). Таким образом, число 616 тоже удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 64\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 64 = 704\). Таким образом, число 704 тоже удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 72\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 72 = 792\). Таким образом, число 792 тоже удовлетворяет условию задачи.

* Если \(a+b = 80\), то \(11(a+b) = 11 \cdot 80 = 880\). Таким образом, число 880 тоже удовлетворяет условию задачи.

Все остальные значения \(a+b\) (от 0 до 79) не будут делиться на 8 без остатка.

Таким образом, в ответе мы указываем следующие числа, которые удовлетворяют условиям задачи: 88, 176, 264, 352, 440, 528, 616, 704, 792 и 880.