Сколько кусков торта получилось после того, как его украсили 5 розочками из крема и разрезали его прямыми разрезами

Yastrebka

52

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1. Сначала найдем общее количество разрезов, необходимых для прохождения через каждые 2 розочки. У нас есть 5 розочек, и нам нужно разрезать торт прямыми разрезами, проходящими через каждые 2 розочки. Вычислим количество возможных разрезов с помощью формулы сочетаний \(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!(n-2)!}}\), где \(n\) - количество розочек.

\[C_5^2 = \frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2}} = 10\]

Таким образом, нам потребуется 10 разрезов для прохождения через каждые 2 розочки.

Шаг 2. Теперь найдем количество получившихся кусков торта. Исходя из поставленной задачи, разрезы прямые и не пересекаются. Значит, каждый новый прямой разрез дает 2 новых куска торта (по одному с каждой стороны разреза).

Таким образом, общее количество кусков торта можно выразить как количество разрезов, умноженное на 2, и затем прибавить 1 для учета исходного куска торта (который не был разрезан).

\[Количество\ кусков\ торта = (Количество\ разрезов \cdot 2) + 1 = (10 \cdot 2) + 1 = 20 + 1 = 21\]

Ответ: После того, как торт украсили 5 розочками и разрезали прямыми разрезами, проходящими через каждые 2 розочки, получилось 21 кусок торта.