Сколько кустарников было посажено около 6 клумб в парке, если каждая последующая клумба имеет вдвое больше кустов

Margo

57

Чтобы решить эту задачу, давайте представим, что у нас есть первая клумба, на которой посажено \(x\) кустарников. Теперь рассмотрим следующую клумбу. По условию задачи, она будет иметь вдвое больше кустарников, чем предыдущая клумба. Значит, на второй клумбе будет посажено \(2x\) кустарников. Аналогичным образом, на третьей клумбе будет \(2 \cdot 2x = 4x\) кустарников, на четвёртой клумбе - \(2 \cdot 4x = 8x\) кустарников, на пятой - \(2 \cdot 8x = 16x\) кустарников и на шестой - \(2 \cdot 16x = 32x\) кустарников.

Таким образом, количество кустарников на каждой последующей клумбе образует геометрическую прогрессию с первым членом \(x\) и знаменателем 2. Мы знаем, что на шестой клумбе было посажено 32x кустарников. Теперь нам нужно найти значение \(x\) - количество кустарников на первой клумбе.

Для этого нужно восстановить геометрическую прогрессию обратно, то есть найти первый член \(x\). Для этого используем формулу суммы геометрической прогрессии:
\[S = \frac{a \cdot (1 - q^n)}{1 - q},\]
где \(S\) - сумма прогрессии (32x), \(a\) - первый член прогрессии (\(x\)), \(n\) - количество членов прогрессии (6) и \(q\) - знаменатель прогрессии (2).

Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[32x = \frac{x \cdot (1 - 2^6)}{1 - 2}.\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[32x = \frac{x \cdot (1 - 64)}{-1}.\]

Далее упрощаем выражение:
\[32x = \frac{x \cdot (-63)}{-1}.\]

И домножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от знака в знаменателе:
\[-32x = x \cdot 63.\]

Теперь раскроем скобки:
\[-32x = 63x.\]

Собрав все члены с \(x\) в одну часть уравнения, получаем:
\[-32x - 63x = 0.\]

Выражаем \(x\):
\[-95x = 0.\]

Таким образом, получаем, что \(x = 0\).

Итак, ответ на задачу состоит в том, что на первой клумбе был посажен 0 кустарников. Ответ может показаться странным, но это следует из условия задачи, где говорится, что каждая последующая клумба имеет вдвое больше кустарников, чем предыдущая. В данном случае, так как количество кустарников на первой клумбе равно 0, следующие клумбы также не будут иметь кустарников.