Сколько машин заправятся на бензоколонке в течение часа, если по шоссе за это время проезжает 120 автомобилей

Magicheskiy_Feniks

22

Для решения данной задачи мы можем использовать понятие биномиального распределения. Давайте разберем каждый пункт задачи по отдельности.

а) Чтобы определить вероятность того, что за час на бензоколонке заправятся ровно 50 машин, нам необходимо использовать формулу биномиального распределения:
\[P(X=k) = C_n^kp^kq^{n-k}\]
где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что произойдет k событий,
- \(C_n^k\) - количество комбинаций из n элементов, взятых по k,
- \(p\) - вероятность наступления одного события,
- \(q = 1 - p\) - вероятность отсутствия события,
- \(n\) - количество испытаний (в данном случае количество проезжающих машин),
- \(k\) - количество успешных событий (количество машин, которые заправятся на бензоколонке).

Вероятность того, что одной машине понадобится заправка, составляет 0,4. Следовательно, \(p = 0,4\).

Теперь, зная это, мы можем приступить к расчетам:
\[P(X=50) = C_{120}^{50} \cdot 0,4^{50} \cdot (1 - 0,4)^{120-50}\]

б) Для определения вероятности того, что за час на бензоколонке заправятся не менее 50 машин, нам необходимо просуммировать вероятности всех событий, начиная с 50:
\[P(X\geq50) = \sum_{k=50}^{120} C_{120}^k \cdot 0,4^k \cdot (1 - 0,4)^{120-k}\]

Если проедут всего 3 машины, то вероятность того, что хотя бы одна из них потребует заправки, можно рассчитать следующим образом:
\[P(\text{{хотя бы одна машина из 3-х потребует заправки}}) = 1 - P(\text{{ни одна машина из 3-х не потребует заправки}})\]
\[P(\text{{ни одна машина из 3-х не потребует заправки}}) = (1 - 0,4)^3\]

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, давайте приступим к вычислениям.