Сколько ненулевых цифр в двоичной записи выражения 4^2015 + 8^2016 – 2^2017?

Morzh

49

Чтобы решить данную задачу, нам нужно вычислить значение выражения $4^{2015}+8^{2016}-2^{2017}$ и определить, сколько ненулевых цифр в его двоичной записи.

Давайте решим это пошагово.

Шаг 1: Вычисление значений степеней чисел

Для начала, нам нужно посчитать значения степеней чисел 4, 8 и 2. Давайте вычислим их:

$4^{2015}=(2^2{)}^{2015}=2^{2\cdot 2015}=2^{4030}$

$8^{2016}=(2^3{)}^{2016}=2^{3\cdot 2016}=2^{6048}$

$2^{2017}$

Шаг 2: Вычисление значения выражения

Теперь, когда мы знаем значения степеней чисел, можем сложить и вычесть их, чтобы получить итоговое значение выражения. Давайте сделаем это:

$4^{2015}+8^{2016}-2^{2017}=2^{4030}+2^{6048}-2^{2017}$

Мы можем заметить, что все три члена выражения содержат степени числа 2. Давайте применим свойство сложения / вычитания степеней одного и того же числа:

$2^{4030}+2^{6048}-2^{2017}=2^{2017}\cdot (2^{2013}+2^{4031}-1)$

Теперь у нас есть упрощенное выражение для вычисления.

Шаг 3: Подсчет ненулевых цифр

Теперь давайте вычислим $2^{2017}$. Для этого, нам нужно узнать, сколько ненулевых цифр в его двоичной записи. Давайте посмотрим на двоичную запись числа $2^{2017}$:

$$2^{2017}=10\dots 0$$ (2017 нулей)

Таким образом, мы видим, что двоичная запись числа $2^{2017}$ состоит из 2017 нулей, после которых идет единица.

Чтобы определить ненулевые цифры итогового выражения $2^{2017}\cdot (2^{2013}+2^{4031}-1)$, нам нужно рассмотреть только те части выражения, которые зависят от степеней числа 2, отличных от 2017.

Таким образом, мы можем сосредоточиться на выражении $2^{2013}+2^{4031}-1$.

Аналогично, чтобы определить ненулевые цифры этого выражения, нам нужно рассмотреть только части, которые зависят от степеней числа 2, отличных от 2017.

Итак, для вычисления ненулевых цифр в итоговом выражении, нам необходимо посмотреть на двоичную запись чисел $2^{2013}$ и $2^{4031}$ и проанализировать их.

Шаг 4: Анализ двоичной записи чисел

Давайте посмотрим на двоичную запись числа $2^{2013}$:

$$2^{2013}=1000\dots 000$$ (2013 нулей)

С другой стороны, двоичная запись числа $2^{4031}$ будет длиннее, чем у $2^{2017}$, потому что его экспонента больше.

Таким образом, оба числа $2^{2013}$ и $2^{4031}$ будут иметь нулевые цифры в двоичной записи после позиции 2017.

Шаг 5: Определение ненулевых цифр выражения

Итак, мы только что определили, что все ненулевые цифры в итоговом выражении $2^{2017}\cdot (2^{2013}+2^{4031}-1)$ будут находиться только внутри первых 2017 позиций в его двоичной записи, поскольку после позиции 2017 в каждом числе содержатся только нули.

Таким образом, двоичная запись итогового выражения будет иметь ровно 2017 ненулевых цифр.

В ответе на нашу задачу сформулируем окончательный вывод:

Выражение $4^{2015}+8^{2016}-2^{2017}$ содержит ровно 2017 ненулевых цифр в его двоичной записи.