Сколько ненулевых цифр в двоичной записи выражения 4^2015 + 8^2016 – 2^2017?

Morzh

49

Чтобы решить данную задачу, нам нужно вычислить значение выражения \(4^{2015} + 8^{2016} - 2^{2017}\) и определить, сколько ненулевых цифр в его двоичной записи.

Давайте решим это пошагово.

Шаг 1: Вычисление значений степеней чисел

Для начала, нам нужно посчитать значения степеней чисел 4, 8 и 2. Давайте вычислим их:

\(4^{2015} = (2^2)^{2015} = 2^{2 \cdot 2015} = 2^{4030}\)

\(8^{2016} = (2^3)^{2016} = 2^{3 \cdot 2016} = 2^{6048}\)

\(2^{2017}\)

Шаг 2: Вычисление значения выражения

Теперь, когда мы знаем значения степеней чисел, можем сложить и вычесть их, чтобы получить итоговое значение выражения. Давайте сделаем это:

\(4^{2015} + 8^{2016} - 2^{2017} = 2^{4030} + 2^{6048} - 2^{2017}\)

Мы можем заметить, что все три члена выражения содержат степени числа 2. Давайте применим свойство сложения / вычитания степеней одного и того же числа:

\(2^{4030} + 2^{6048} - 2^{2017} = 2^{2017} \cdot (2^{2013} + 2^{4031} - 1)\)

Теперь у нас есть упрощенное выражение для вычисления.

Шаг 3: Подсчет ненулевых цифр

Теперь давайте вычислим \(2^{2017}\). Для этого, нам нужно узнать, сколько ненулевых цифр в его двоичной записи. Давайте посмотрим на двоичную запись числа \(2^{2017}\):

\[2^{2017} = 10\ldots0\] (2017 нулей)

Таким образом, мы видим, что двоичная запись числа \(2^{2017}\) состоит из 2017 нулей, после которых идет единица.

Чтобы определить ненулевые цифры итогового выражения \(2^{2017} \cdot (2^{2013} + 2^{4031} - 1)\), нам нужно рассмотреть только те части выражения, которые зависят от степеней числа 2, отличных от 2017.

Таким образом, мы можем сосредоточиться на выражении \(2^{2013} + 2^{4031} - 1\).

Аналогично, чтобы определить ненулевые цифры этого выражения, нам нужно рассмотреть только части, которые зависят от степеней числа 2, отличных от 2017.

Итак, для вычисления ненулевых цифр в итоговом выражении, нам необходимо посмотреть на двоичную запись чисел \(2^{2013}\) и \(2^{4031}\) и проанализировать их.

Шаг 4: Анализ двоичной записи чисел

Давайте посмотрим на двоичную запись числа \(2^{2013}\):

\[2^{2013} = 1000\ldots000\] (2013 нулей)

С другой стороны, двоичная запись числа \(2^{4031}\) будет длиннее, чем у \(2^{2017}\), потому что его экспонента больше.

Таким образом, оба числа \(2^{2013}\) и \(2^{4031}\) будут иметь нулевые цифры в двоичной записи после позиции 2017.

Шаг 5: Определение ненулевых цифр выражения

Итак, мы только что определили, что все ненулевые цифры в итоговом выражении \(2^{2017} \cdot (2^{2013} + 2^{4031} - 1)\) будут находиться только внутри первых 2017 позиций в его двоичной записи, поскольку после позиции 2017 в каждом числе содержатся только нули.

Таким образом, двоичная запись итогового выражения будет иметь ровно 2017 ненулевых цифр.

В ответе на нашу задачу сформулируем окончательный вывод:

Выражение \(4^{2015} + 8^{2016} - 2^{2017}\) содержит ровно 2017 ненулевых цифр в его двоичной записи.