Сколько нулей есть в двоичной записи числа 4^2015 + 8^2016 – 2^2017 – 150? Объясните ваше решение

Pushok_5558

15

Чтобы решить эту задачу, мы должны представить числа 4^2015, 8^2016, 2^2017 и 150 в двоичной системе счисления, а затем проанализировать каждое число, чтобы узнать, сколько нулей содержит его двоичная запись. Давайте начнем с решения.

1. Преобразование числа 4^2015 в двоичную систему:
Чтобы найти двоичное представление числа 4^2015, мы можем постепенно умножать число 4 на себя 2015 раз.
Начинаем с числа 4: 4 = 100 в двоичном виде.
Умножаем его на само себя: 4 * 4 = 16 = 10000 в двоичном виде.
Продолжаем этот процесс, каждый раз умножая результат предыдущего шага на 4.

Заметим, что при каждом умножении на 4 мы добавляем два нуля к двоичной записи числа.
Следовательно, двоичное представление числа 4^2015 будет содержать 2015 * 2 = 4030 нулей.

2. Преобразование числа 8^2016 в двоичную систему:
Аналогично предыдущему шагу, мы умножаем число 8 на само себя 2016 раз.
Заметим, что при каждом умножении на 8 мы добавляем три нуля к двоичной записи числа.
Таким образом, двоичное представление числа 8^2016 будет содержать 2016 * 3 = 6048 нулей.

3. Преобразование числа 2^2017 в двоичную систему:
Чтобы найти двоичное представление числа 2^2017, мы можем постепенно умножать число 2 на себя 2017 раз.
Начинаем с числа 2: 2 = 10 в двоичном виде.
Умножаем его на само себя: 2 * 2 = 4 = 100 в двоичном виде.
Продолжаем этот процесс, каждый раз умножая результат предыдущего шага на 2.

Заметим, что при каждом умножении на 2 мы добавляем один ноль к двоичной записи числа.
Следовательно, двоичное представление числа 2^2017 будет содержать 2017 нулей.

4. Преобразование числа 150 в двоичную систему:
Чтобы найти двоичное представление числа 150, мы можем разложить его на сумму степеней числа 2.
150 = 128 + 16 + 4 + 2 = 2^7 + 2^4 + 2^2 + 2^1.

Используя двоичное представление степеней двойки, мы получаем:
2^7 = 10000000, 2^4 = 10000, 2^2 = 100, 2^1 = 10.

Складывая эти двоичные представления, мы получаем 10000000 + 10000 + 100 + 10 = 10101010.

В двоичной записи числа 150 содержится 4 нуля.

Теперь мы можем подсчитать общее количество нулей в двоичной записи выражения 4^2015 + 8^2016 - 2^2017 - 150:
4030 (из 4^2015) + 6048 (из 8^2016) - 2017 (из 2^2017) - 4 (из 150) = 10057.

Таким образом, в двоичной записи данного выражения содержится 10057 нулей.