Сколько работы совершил одноатомный идеальный газ при изотермическом расширении, если его внутренняя энергия составляет

Глеб_4890

10

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать уравнение идеального газа и определить, какая работа совершается при изотермическом расширении газа.

Из уравнения идеального газа мы знаем, что внутренняя энергия взаимодействия молекул газа определяется его температурой. Формула для внутренней энергии идеального газа выглядит следующим образом:

\[U = \frac{3}{2} nRT,\]

где \(U\) - внутренняя энергия газа, \(n\) - количество молекул газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная (\(8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)), и \(T\) - температура газа в Кельвинах.

Мы знаем, что внутренняя энергия составляет 5 кДж, что равно 5000 Дж. Подставим эти значения в уравнение и найдем количество молекул газа:

\[5000 = \frac{3}{2} nRT.\]

Здесь нам известны \(R\) и \(T\), поэтому можем выразить количество молекул \(n\):

\[n = \frac{5000}{\frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot T}.\]

Теперь мы можем рассчитать работу \(W\), совершенную газом при изотермическом расширении. Работа определяется следующим уравнением:

\[W = -\int_{V_1}^{V_2} P \, dV,\]

где \(P\) - давление газа, \(V_1\) и \(V_2\) - объемы газа в начальном и конечном состояниях соответственно. При изотермическом расширении внутренняя энергия газа не изменяется, поэтому используется уравнение Пуассона:

\[PV = \text{const}.\]

Решая это уравнение для начального и конечного состояний газа, получаем:

\[P_1 V_1 = P_2 V_2.\]

Теперь мы можем выразить давление \(P_2\) через известные величины:

\[P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2}.\]

Подставим это значение давления в уравнение для работы и упростим выражение:

\[W = -P_1 V_1 \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \, dV.\]

Интегрируя это выражение, мы получим:

\[W = -P_1 V_1 \ln{\frac{V_2}{V_1}}.\]

Теперь мы можем подставить полученное значение для давления и известные значения объемов:

\[W = -\frac{P_1 V_1^2}{V_2} \ln{\frac{V_2}{V_1}}.\]

Осталось только подставить значения и рассчитать результат. Не забывайте преобразовывать величины к соответствующим единицам измерения.