Сколько раз единица встречается в двоичной записи результата 8^7 + 4^5 + 2^10?

Кедр

57

Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала вычислить значение выражения \(8^7 + 4^5 + 2^{10}\), а затем посчитать, сколько раз единица встречается в двоичной записи этого значения.

Шаг 1: Вычисляем значение выражения \(8^7 + 4^5 + 2^{10}\):

У нас есть:

\(8^7 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 2^{21}\)

\(4^5 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 2^{10}\)

\(2^{10}\) уже у нас есть.

Теперь мы можем вычислить значение выражения:

\(8^7 + 4^5 + 2^{10} = 2^{21} + 2^{10} + 2^{10}\)

Чтобы сложить два числа, возведенных в одну и ту же степень, мы можем использовать свойство:

\(a^n + b^n = (a + b) \cdot a^{n-1}\)

Применяя это свойство, мы получаем:

\(2^{21} + 2^{10} + 2^{10} = (2^{21} + 2 \cdot 2^{10})\)

Теперь мы можем привести подобные слагаемые:

\(2^{21} + 2 \cdot 2^{10} = 2^{21} + 2^{11}\)

Поскольку \(2^{21} + 2^{11}\) является суммой двух чисел, возведенных в степень двойки и имеющих разные показатели степени, мы не можем упростить это дальше. Таким образом, наше окончательное значение выражения:

\(8^7 + 4^5 + 2^{10} = 2^{21} + 2^{11}\)

Шаг 2: Определяем, сколько раз единица встречается в двоичной записи результата:

Теперь мы хотим узнать, сколько раз единица встречается в двоичной записи числа \(2^{21} + 2^{11}\).

Давайте преобразуем каждое из этих чисел в двоичную запись:

\(2^{21} = 10 0000 0000 0000 0000 0000 0000\)

\(2^{11} = 0000 0100 0000 0000\)

Теперь сложим эти два двоичных числа:

\[
\begin{array}{ccccccccccccccccccccccccc}
& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+ & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
& 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]

Таким образом, в двоичной записи числа \(2^{21} + 2^{11}\) единица встречается один раз.

Ответ: В двоичной записи результата \(8^7 + 4^5 + 2^{10}\) единица встречается один раз.