Сколько различных кодов, состоящих из пяти букв - А, П, О, Р, Т, может составить Артур, если каждую букву нужно

Lastik

11

Чтобы решить эту задачу, мы можем разбить ее на два случая: когда первая буква кода является гласной и когда первая буква является согласной.

Пусть первая буква кода является гласной. Так как у нас 5 различных гласных букв (А, О), то мы можем выбрать одну из них для первой позиции кода. Затем у нас остается только 4 буквы (П, Р, Т), из которых нужно выбрать остальные 4 позиции кода. Каждую из оставшихся букв мы можем выбрать для любой из оставшихся позиций.

Таким образом, количество кодов, когда первая буква является гласной, равно \(2 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 48\).

Теперь рассмотрим случай, когда первая буква кода является согласной. У нас остается 3 согласные буквы (П, Р, Т) и 2 гласные (А, О). Для первой позиции кода мы можем выбрать одну из 3-х согласных букв. Затем у нас остается 4 буквы (после выбора первой буквы), из которых нужно выбрать оставшиеся 4 позиции кода. Каждую из оставшихся букв мы можем выбрать для любой из оставшихся позиций.

Таким образом, количество кодов, когда первая буква является согласной, равно \(3 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 72\).

Итак, общее количество различных кодов, которые может составить Артур, равно сумме количества кодов для каждого из двух случаев: \(48 + 72 = 120\).

Таким образом, Артур может составить 120 различных кодов из букв А, П, О, Р, Т при условии, что каждую букву нужно использовать ровно один раз и нельзя ставить рядом две гласные.