Сколько различных последовательностей из a нулей и b единиц существует, в которых нет подряд идущих нулей?

Magicheskiy_Tryuk_5423

40

Чтобы решить эту задачу, давайте пошагово разберемся. Первым шагом нужно понять, какие возможные комбинации нулей и единиц при заданных условиях не допускают подряд идущих нулей.

Давайте представим, что у нас есть a нулей и b единиц, и мы хотим построить такую последовательность, в которой нет подряд идущих нулей. Мы можем начать с нуля или с единицы, и хотим выбирать следующий символ таким образом, чтобы он отличался от предыдущего.

Допустим, мы начинаем с нуля, тогда можем выбрать 1 или 0 для следующего символа. Если выбираем 1, то нам остается a нулей и b-1 единиц. Если выбираем 0, то нам остается a-1 нулей и b единиц. Заметим, что остаток последовательности, которую мы можем построить при выборе 1 или 0, будет зависеть от выбранного символа.

Теперь рекурсивно повторим этот процесс для оставшихся нулей и единиц.

Если выражать это в виде формулы, то можно записать следующее рекуррентное соотношение:

\(f(a, b) = f(a-1, b) + f(a, b-1)\), где \(f(a, b)\) - количество возможных последовательностей из a нулей и b единиц, удовлетворяющих условию.

Базовый случай для этой рекурсии будет:

\(f(0, b) = 1\), когда a = 0 - это означает, что у нас не осталось нулей, поэтому существует только одна возможная последовательность из b единиц.

\(f(a, 0) = 1\), когда b = 0 - это означает, что у нас не осталось единиц, поэтому существует только одна возможная последовательность из a нулей.

Таким образом, мы можем использовать эти рекуррентные соотношения, чтобы решить задачу. Например, для \(a = 3\) и \(b = 2\) получим:

\(f(3, 2) = f(2, 2) + f(3, 1) = (f(1, 2) + f(2, 1)) + (f(2, 1) + f(3, 0)) = (f(0, 2) + f(1, 1) + f(1, 1) + f(2, 0)) + (f(1, 1) + f(2, 0) + f(2, 0) + f(3, -1)) = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 0 = 10\)

Таким образом, существует 10 различных последовательностей из 3 нулей и 2 единиц, в которых нет подряд идущих нулей.