Сколько составляет площадь кольца (красного цвета), если известно, что имеются два круга с общим центром O, а площадь

Печенье

54

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для нахождения площади круга. Эта формула выглядит следующим образом:

\[S = \pi \cdot r^2\]

где S - площадь круга, \(\pi\) - значение числа пи, r - радиус круга.

У нас имеются два круга с общим центром O. Площадь большего круга равна 300 см². Пусть радиус большего круга будет R. По формуле, составим уравнение:

\[300 = \pi \cdot R^2\]

Теперь обратимся к меньшему кругу, которое представляет собой кольцо красного цвета. Известно, что отрезок AB равен 3 см, и он является разностью радиусов малого и большего кругов. То есть, мы можем записать:

\[AB = R - r\]

Мы знаем, что AB равно 3 см. Подставим это значение в уравнение:

\[3 = R - r\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 300 = \pi \cdot R^2 \\ 3 = R - r \end{cases}\]

Решим систему уравнений. Начнем со второго уравнения:

\[R = r + 3\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[300 = \pi \cdot (r + 3)^2\]

Раскроем скобки:

\[300 = \pi \cdot (r^2 + 6r + 9)\]

Далее, упростим и приведем уравнение к каноническому виду:

\[300 = \pi r^2 + 6\pi r + 9\pi\]

Теперь, перенесем все элементы в одну сторону:

\[\pi r^2 + 6\pi r + 9\pi - 300 = 0\]

Здесь мы получили квадратное уравнение с относительно радиуса круга. Мы можем решить это уравнение, используя квадратную формулу:

\[r = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где a, b и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае:

\[a = \pi\]
\[b = 6\pi\]
\[c = 9\pi - 300\]

Подставим значения в формулу и решим:

\[r = \frac{{-6\pi \pm \sqrt{{(6\pi)^2 - 4(\pi)(9\pi - 300)}}}}{{2\pi}}\]

Выполняя дальнейшие вычисления, мы можем получить два значения для радиуса. Так как мы рассматриваем физический объект, радиус не может быть отрицательным, поэтому возьмем положительное значение для радиуса.

Итак, мы рассмотрели процесс решения системы уравнений и получили значения для радиуса \(r\). Теперь мы можем использовать формулу площади круга, чтобы найти итоговую площадь кольца.

\[S_{кольца} = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2\]

Подставим значения радиусов в формулу и выполним вычисления, чтобы получить площадь кольца.