Сколько существует простых правильных несократимых дробей с одинаковым знаменателем?

Ледяная_Душа

22

Чтобы решить эту задачу, нам нужно обратиться к теории чисел и простым числам.

Простые числа - это числа, которые делятся только на себя и на единицу. Несколько примеров простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее.

Правильная несократимая дробь - это дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей, то есть не могут быть сокращены.

В данной задаче у нас есть одинаковый знаменатель, но мы должны найти все возможные числители, которые образуют правильные несократимые дроби.

Предположим, что наш знаменатель равен \(d\). Таким образом, все числа от 1 до \(d-1\) могут быть потенциальными числителями. Однако, некоторые из этих числителей могут сокращаться с знаменателем и не образуют несократимые дроби.

Теперь давайте посмотрим, какие числа можно сократить с знаменателем \(d\). Для этого найдем все простые числа, меньшие или равные \(d\) и проверим, делится ли знаменатель на них.

Найденные простые числа будут являться общими делителями знаменателя и некоторых числителей. Если мы сократим числитель и знаменатель на любое из этих простых чисел, мы получим эквивалентную дробь.

Таким образом, чтобы найти количество простых правильных несократимых дробей с одинаковым знаменателем \(d\), мы должны вычислить количество чисел от 1 до \(d-1\), которые не делятся на простые числа, меньшие или равные \(d\).

Теперь, чтобы обосновать этот ответ, можно использовать принцип включения-исключения из комбинаторики.

Допустим, у нас есть \(x\) чисел от 1 до \(d-1\), делящихся на простые числа, меньшие или равные \(d\). Используя принцип включения-исключения, мы можем выразить количество чисел, делящихся на эти простые числа, как:

\[x = \left\lfloor \frac{d-1}{p_1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{d-1}{p_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{d-1}{p_3} \right\rfloor + ... + \left\lfloor \frac{d-1}{p_n} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{d-1}{p_1 \cdot p_2} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{d-1}{p_1 \cdot p_3} \right\rfloor - ... - \left\lfloor \frac{d-1}{p_{n-1} \cdot p_n} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{d-1}{p_1 \cdot p_2 \cdot p_3} \right\rfloor + ... + (-1)^{n+1} \left\lfloor \frac{d-1}{p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n} \right\rfloor\]

Где \(p_1, p_2, p_3, ..., p_n\) - это все простые числа, меньшие или равные \(d\).

Таким образом, количество правильных несократимых дробей с одинаковым знаменателем \(d\) будет равно \(d-1-x\).

Итак, мы можем использовать эту формулу для нахождения количества правильных несократимых дробей для любого заданного знаменателя. Количество простых чисел, меньших или равных \(d\), можно вычислить с помощью алгоритма, известного как решето Эратосфена.

Надеюсь, эта подробная и обстоятельная информация помогла тебе понять решение этой задачи! Если у тебя есть ещё вопросы, не стесняйся задавать!