Сколько существует различных невырожденных треугольников с целочисленными сторонами и периметром, равным 85345?

Жанна

41

Чтобы решить данную задачу, нам нужно понять, какие условия должны выполняться, чтобы треугольник был невырожденным, то есть имел ненулевую площадь. Также нам дано, что периметр треугольника равен 85345 и стороны треугольника должны быть целыми числами.

Для начала рассмотрим условие треугольника: сумма длин двух сторон всегда должна быть больше, чем длина третьей стороны. То есть, если мы обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a ≤ b ≤ c, то получим следующую систему неравенств:

a + b > c
a + c > b
b + c > a

С учетом этих условий перейдем к решению задачи.

Для начала, найдем максимальное значение для наибольшей стороны c, которое может быть при условии периметра равного 85345. Если периметр треугольника равен сумме длин его сторон, то получим следующее уравнение:

a + b + c = 85345

Подставим условие a ≤ b ≤ c и максимальные значения для a и b (a = 1 и b = 2):

1 + 2 + c = 85345

c = 85342

Теперь, имея максимальное значение для c, мы можем рассмотреть возможные значения для a и b, учитывая условие треугольника.

Начнем с a = 1 и b = 2, и проверим, выполняются ли условия треугольника для этих значений:

1 + 2 > c
1 + c > 2
2 + c > 1

Все условия выполняются, поэтому треугольник с такими сторонами является невырожденным. Таким образом, у нас есть один невырожденный треугольник с значениями a = 1, b = 2 и c = 85342, периметр которого равен 85345.

Ответ: Существует только один невырожденный треугольник с целочисленными сторонами и периметром, равным 85345.