Сколько треугольников потребуется, чтобы сформировать другую звезду, расположив больше таких же треугольников

Янтарь

68

Чтобы решить эту задачу, давайте пошагово разберемся.

1. Сначала визуализируем звезду, которую мы хотим сформировать. Зная, что каждая вершина звезды образована тремя треугольниками, которые сходятся в этой вершине, изобразим это на рисунке:

\[
\Delta \quad \Delta \quad \Delta
\]

Где каждое \(\Delta\) представляет треугольник.

2. Теперь построим наши треугольники так, чтобы вершины их меньших острых углов совпадали. Для этого все треугольники должны быть ориентированы одинаково. Разместим один из треугольников и заполним пространство вокруг него последовательно добавляя новые треугольники с помощью звезды, чтобы они смогли подходить к уже существующим треугольникам:

\[
\Delta
\]

\[
\Delta \quad \Delta
\]

\[
\Delta \quad \Delta \quad \Delta \quad \Delta
\]

\[
\Delta \quad \Delta \quad \Delta \quad \Delta \quad \Delta \quad \Delta \quad \Delta
\]

Мы знаем, что каждый новый треугольник присоединяется к двум предыдущим треугольникам. Таким образом, для каждого нового треугольника нам понадобятся две предыдущие треугольника. Поэтому мы можем считать количество треугольников, которые будут использованы как сумму арифметической прогрессии.

3. Теперь найдем общее количество треугольников:

Поскольку в нашем случае первый треугольник используется один раз, а каждый последующий треугольник используется дважды, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[
S = \frac{n}{2} \cdot (a + l)
\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество элементов, \(a\) - первый элемент, \(l\) - последний элемент.

В нашем случае \(a = 1\) (первый треугольник), \(l = 2 \cdot 7\) (вторая вершина последнего треугольника), а \(n\) - это общее количество треугольников. Заменим значения и решим:

\[
S = \frac{n}{2} \cdot (1 + 2 \cdot 7) = \frac{n}{2} \cdot 15
\]

Мы также знаем, что \(S = 73\) (общее количество треугольников). Заменяем и находим \(n\):

\[
73 = \frac{n}{2} \cdot 15
\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{15}\):

\[
\frac{2}{15} \cdot 73 = n
\]

\[
n \approx 9.73
\]

Ответ: округлим до ближайшего целого числа. Так как треугольники не могут быть дробными, нам потребуется около 10 треугольников, чтобы сформировать данную звезду.

Таким образом, ответ на задачу составляет 10 треугольников (вариант А).