Сколько вариантов браслетов может создать мастерица, используя 11 бусин, включая три стеклянных и восемь жемчужных?

Зимний_Сон

25

Чтобы решить данную задачу, мы можем применить комбинаторику и использовать комбинаторную формулу для размещения с повторениями. Формула размещения с повторениями имеет вид:

\[ \binom{n}{k_1, k_2, ..., k_m} = \frac{(k_1 + k_2 + ... + k_m)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_m!} \]

где \(n\) - общее количество элементов, \(k_1, k_2, ..., k_m\) - количество каждого типа элементов.

В нашей задаче у нас есть 11 бусин, из которых 3 стеклянные и 8 жемчужных. Чтобы найти количество вариантов браслетов, мы будем использовать формулу размещения с повторениями. Подставим в формулу значения:

\[ \binom{11}{3, 8} = \frac{(3 + 8)!}{3! \cdot 8!} \]

Теперь проведем вычисления:

\[ \binom{11}{3, 8} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} \]

Чтобы продолжить расчеты, нам потребуется выполнить некоторые факториалы:

\[ 11! = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8! \]

\[ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

\[ 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

Подставим значения факториалов в формулу:

\[ \binom{11}{3, 8} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} \]

Мы видим, что факториалы \(8!\) сокращаются:

\[ \binom{11}{3, 8} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} \]

Теперь выполним вычисления:

\[ \binom{11}{3, 8} = \frac{990}{6} \]

\[ \binom{11}{3, 8} = 165 \]

Таким образом, мастерица может создать 165 различных вариантов браслетов, используя 11 бусин, включая 3 стеклянных и 8 жемчужных.