Сколько возможных выпуклых четырехугольников можно образовать, используя только отмеченные вершины и середины сторон

Бублик

33

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим способы выбора вершин для образования выпуклых четырехугольников.

У нас есть 16 точек - 8 вершин и 8 середин сторон правильного 8-угольника. Чтобы образовать выпуклый четырехугольник, нам необходимо выбрать 4 точки из этих 16.

Разделим решение на два случая:

Случай 1: Все четыре точки находятся на вершинах 8-угольника.

В этом случае у нас есть 8 вершин, и мы должны выбрать 4 из них. Количество способов выбрать 4 вершины из 8 равно числу сочетаний 8 по 4 или \(\binom{8}{4}\).

Формула для числа сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов выглядит следующим образом:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

В нашем случае, где \(n = 8\) и \(k = 4\), формула будет выглядеть так:

\(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!}\)

Случай 2: В четырехугольнике есть одна или более точек, которые являются серединами сторон.

В этом случае, чтобы выбрать 4 точки, мы должны учесть возможность выбора вершин и середин сторон. Для этого разделим задачу на два подслучая:

а) 2 вершины и 2 середины сторон.

Выберем сначала 2 вершины из 8. Мы можем это сделать \(\binom{8}{2}\) способами. Затем выберем 2 середины сторон из 8. Это можно сделать \(\binom{8}{2}\) способами. Общее количество возможностей будет равно произведению этих чисел:

\(\binom{8}{2} \times \binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} \times \frac{8!}{2!(8-2)!}\)

б) 1 вершина и 3 середины сторон.

Выберем сначала 1 вершину из 8. Это можно сделать \(\binom{8}{1}\) способом. Затем выберем 3 середины сторон из 8. Это можно сделать \(\binom{8}{3}\) способами. Общее количество возможностей будет равно произведению этих чисел:

\(\binom{8}{1} \times \binom{8}{3} = \frac{8!}{1!(8-1)!} \times \frac{8!}{3!(8-3)!}\)

Теперь сложим количество возможностей из двух подслучаев a) и б), чтобы получить общее количество возможных выпуклых четырехугольников:

\(\binom{8}{2} \times \binom{8}{2} + \binom{8}{1} \times \binom{8}{3}\)

Остается только вычислить значение этого выражения.

Я надеюсь, что данный подробный объяснение помог вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы или понадобится дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите мне.