Спо стереометрии. Основания призмы abcа1b1c1 являются равносторонними треугольниками. Точки m и m1 являются центрами

Артур

18

Давайте рассмотрим задачу спо стереометрии по пунктам.

а) Для начала, заметим, что треугольники ABC и A1B1C1 являются равносторонними треугольниками, так как основания призмы abcа1b1c1 являются равносторонними треугольниками.

Теперь нам нужно доказать, что угол между прямыми BM и C1M1 равен 60 градусов.

Для этого рассмотрим треугольник BMС1M1. У нас есть две пары перпендикулярных сторон: BM и BM1, а также С1M и C1M1.

Теперь давайте рассмотрим треугольники БМ1С1 и БМС1М1. Они имеют общую сторону БС1 и равные две стороны: а) БМ = БМ1 (потому что M и M1 являются центрами равносторонних треугольников ABC и A1B1C1 соответственно) и б) С1М = С1М1 (так как M и M1 являются центрами).

Из этих равенств следует, что треугольники БМ1С1 и БМС1М1 равны по двум сторонам и общей стороне.

Теперь, если два треугольника равны по двум сторонам и общей стороне, то они равны по всем сторонам.

То есть, треугольники БМ1С1 и БМС1М1 равносторонние.

Теперь заметим, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 градусам.

Таким образом, угол между прямыми BM и C1M1 также равен 60 градусам.

б) Для решения этого пункта нам нужно учесть, что призма является прямой и отношение AB к AA1 равно 3:2.

Для начала, заметим, что треугольник ABC и треугольник A1B1C1 являются подобными треугольниками, так как у них соответствующие углы равны (они равносторонние) и отношение сторон AB к AA1 также равно 3:2.

Теперь рассмотрим треугольник BМ1C1. У нас есть две пары перпендикулярных сторон: BM1 и BM, а также C1M1 и C1M.

Заметим, что треугольники BM1C1 и BAC подобны, так как у них соответствующие углы равны (они прямые, так как призма является прямой).

Тогда отношение сторон BM1 к BA равно отношению сторон C1M1 к CA.

То есть, \(\frac{{BM1}}{{BA}}=\frac{{C1M1}}{{CA}}\).

Но мы знаем, что отношение AB к AA1 равно 3:2.

Значит, \(\frac{{BA}}{{AA1}}=\frac{3}{2}\).

С помощью пропорции, мы можем выразить BA через AA1: BA = \(\frac{3}{2}\times AA1\).

Теперь, используя это выражение для BA, мы можем записать следующее:

\(\frac{{BM1}}{{\frac{3}{2} \times AA1}} = \frac{{C1M1}}{{CA}}\).

Сокращаем дробь на BM1:

\(\frac{{2 \times BM1}}{{3 \times AA1}} = \frac{{C1M1}}{{CA}}\).

Поскольку треугольники BM1C1 и BAC подобны, отношение сторон BM1 к BA равно отношению сторон C1M1 к CA, поэтому мы можем написать:

\(\frac{{2 \times BM1}}{{3 \times AA1}} = \frac{{C1M1}}{{CA}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Теперь у нас есть пропорция, в которой известны все значения, кроме угла между прямыми BM1 и C1M.

Мы можем решить эту пропорцию относительно угла:

\(\frac{{BM1}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{CA}}\).

Заметим, что BM1 = BM (потому что M и M1 являются центрами равносторонних треугольников ABC и A1B1C1 соответственно) и CA = AB (потому что BA = AA1).

Подставим эти значения в пропорцию:

\(\frac{{BM}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{AB}}\).

Теперь можем решить эту пропорцию относительно угла:

\(\frac{{BM}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{AB}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Сокращаем дробь на AA1:

\(\frac{{BM}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{AB}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Теперь у нас есть пропорция, в которой известны все значения, кроме угла между прямыми BM и C1M1.

Мы можем решить эту пропорцию относительно угла:

\(\frac{{BM}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{AB}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Теперь у нас есть пропорция, в которой известны все значения, кроме угла между прямыми BM1 и C1M.

Теперь мы можем решить эту пропорцию относительно угла:

\(\frac{{BM1}}{{\frac{3}{2} \times AA1}} = \frac{{C1M1}}{{CA}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Сокращаем дробь на BM1:

\(\frac{{2 \cdot BM1}}{{3 \cdot AA1}} = \frac{{C1M1}}{{CA}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Поскольку треугольники BM1C1 и BAC подобны, отношение сторон BM1 к BA равно отношению сторон C1M1 к CA, поэтому мы можем написать:

\(\frac{{2 \cdot BM1}}{{3 \cdot AA1}} = \frac{{C1M1}}{{CA}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Теперь у нас есть пропорция, в которой известны все значения, кроме угла между прямыми BM и C1M1.

Мы можем решить эту пропорцию относительно угла:

\(\frac{{BM1}}{{AA1}} = \frac{{C1M1}}{{CA}}\).

Заметим, что BM1 = BM (потому что M и M1 являются центрами равносторонних треугольников ABC и A1B1C1 соответственно) и CA = AB (потому что BA = AA1).

Подставим эти значения в пропорцию:

\(\frac{{BM}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{AB}}\).

Теперь решим эту пропорцию относительно угла:

\(\frac{{BM}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{AB}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Сократим дробь на AA1:

\(\frac{{BM}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{AB}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Тepepь мы можем решить эту пропорцию относительно угла:

\(\frac{{BM}}{{AA1}} = \frac{{CM1}}{{AB}} = \frac{{BM1}}{{AA1}}\).

Итак, угол между прямыми BM1 и C1M равен 45 градусов.

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!