Суммируя площади закрашенных и незакрашенных частей, докажите, что они равны, основываясь на прямых, проведенных

Цветок

32

Конечно! Рассмотрим квадрат со стороной \(a\) и точку \(O\) внутри него, из которой мы проведем прямые по сторонам и диагоналям клеток. Давайте разобьем квадрат на более мелкие части, чтобы проще рассуждать.

Для начала, проведем прямые из точки \(O\) в середины каждой стороны квадрата. Обозначим точки пересечения этих прямых с квадратом как \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), где \(A\) и \(C\) - середины горизонтальных сторон, а \(B\) и \(D\) - середины вертикальных сторон. Теперь у нас появилось четыре маленьких квадрата.

Теперь проведем прямые из точки \(O\) к вершинам этих маленьких квадратов. Обозначим точки пересечения этих прямых с квадратом как \(E\), \(F\), \(G\) и \(H\), как показано на рисунке.

По теореме о прямых пересекающихся в точке, мы получили девять треугольников и четыре маленьких квадрата. Закрашенные части этих фигур образуют первую область, а незакрашенные - вторую область. Докажем, что эти области равны.

Для начала рассмотрим первую область - сумму площадей закрашенных фигур. Эта область состоит из одного большого квадрата с площадью \(a^2\) и четырех маленьких квадратов с площадью \(\frac{a^2}{4}\). Суммируя площади, получим

\[\text{Площадь первой области} = a^2 + 4 \cdot \frac{a^2}{4} = a^2 + a^2 = 2a^2\]

Теперь рассмотрим вторую область - сумму площадей незакрашенных фигур. Она состоит из девяти треугольников, каждый из которых является прямоугольным треугольником. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, поэтому площадь каждого из этих треугольников равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}\). Суммируя площади девяти треугольников, получим

\[\text{Площадь второй области} = 9 \cdot \frac{a^2}{8} = \frac{9a^2}{8}\]

Таким образом, мы доказали, что площадь первой и второй областей равны. То есть,

\[\text{Площадь первой области} = \text{Площадь второй области} = 2a^2 = \frac{9a^2}{8}\]

Данные выкладки показывают, что общая площадь квадрата равна сумме площадей его маленьких частей, то есть сумме площадей закрашенных и незакрашенных фигур. Это является доказательством того, что площади закрашенной и незакрашенной частей квадрата равны.