The lever shown in the figure is in equilibrium. The mass of each load is 102 g, and the reading on the dynamometer

Ledyanaya_Roza

61

to a force of \(25 \, \text{N}\). Find the mass of the beam.

Данная задача связана с равновесием рычага. Важно понять, что равновесие достигается в том случае, когда моменты сил с двух сторон рычага равны. Мы знаем массу каждой нагрузки (102 г) и показания динамометра, которые соответствуют силе 25 Н.

Давайте обратимся к основным принципам физики и воспользуемся определением момента силы. Момент силы определяется как произведение силы на расстояние от точки опоры до линии действия силы. Пусть \( m_1 \) - масса одной нагрузки (102 г), \( m_2 \) - масса второй нагрузки (также 102 г) и \( F \) - сила, измеренная динамометром (25 Н). Пусть \( x \) - расстояние от точки опоры до линии действия силы, создаваемой силой \( F \), и \( y \) - расстояние от точки опоры до места, где находятся нагрузки.

Теперь, учитывая, что система находится в равновесии, момент силы, создаваемый нагрузками с одной стороны, должен быть равен моменту силы, создаваемой динамометром:

\[ m_1 \cdot g \cdot y = F \cdot x \]

где \( g \) - ускорение свободного падения (9,8 м/с\(^2\)).

Так как у нас две нагрузки, с одной и другой стороны рычага, мы можем записать еще одно уравнение:

\[ m_2 \cdot g \cdot y = F \cdot (L - x) \]

где \( L \) - длина рычага, и расстояние от точки опоры до других концов нагрузок равно \( L - x \).

Мы можем решить эти два уравнения относительно \( x \) и \( y \):

\[ m_1 \cdot g \cdot y = F \cdot x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{{F \cdot x}}{{m_1 \cdot g}} \]

\[ m_2 \cdot g \cdot y = F \cdot (L - x) \quad \Rightarrow \quad m_2 \cdot g \cdot \left(\frac{{F \cdot x}}{{m_1 \cdot g}}\right) = F \cdot (L - x) \]

Теперь можем решить второе уравнение относительно \( x \):

\[ m_2 \cdot g \cdot \left(\frac{{F \cdot x}}{{m_1 \cdot g}}\right) = F \cdot (L - x) \]

Упростим выражение, сократив \( g \) и \( F \):

\[ m_2 \cdot \frac{{F \cdot x}}{{m_1}} = F \cdot (L - x) \]

Далее, сократим силу \( F \) с обеих сторон выражения:

\[ m_2 \cdot x = m_1 \cdot (L - x) \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ m_2 \cdot x = m_1 \cdot L - m_1 \cdot x \]

Прибавим \( m_1 \cdot x \) к обеим сторонам:

\[ (m_1 + m_2) \cdot x = m_1 \cdot L \]

Теперь разделим обе стороны на \( m_1 + m_2 \):

\[ x = \frac{{m_1 \cdot L}}{{m_1 + m_2}} \]

Используя известные значения \( m_1 = 102 \, \text{г} = 0,102 \, \text{кг} \), \( m_2 = 102 \, \text{г} = 0,102 \, \text{кг} \), \( F = 25 \, \text{Н} \) и приняв \( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 \), мы можем вычислить \( x \):

\[ x = \frac{{0,102 \cdot L}}{{0,102 + 0,102}} \]

Теперь нам нужно найти массу балки. Для этого мы можем использовать определение массы:

\[ \text{масса} = \text{плотность} \cdot \text{объем} \]

Плотность (распределение массы) равномерная, поэтому ее можно выразить как:

\[ \text{плотность} = \frac{{m_1 + m_2}}{{L}} \]

Объем балки можно записать как \( S \cdot L \cdot h \), где \( S \) - площадь поперечного сечения балки, а \( h \) - высота поперечного сечения. Однако мы будем использовать массу вместо плотности в данном случае, поэтому:

\[ \text{масса} = (m_1 + m_2) \cdot h \]

Решив это уравнение относительно \( h \), получим:

\[ h = \frac{{\text{масса}}}{{m_1 + m_2}} \]

Теперь подставим значение \( \text{массы} \), которую мы получили ранее, и найдем искомую массу балки.