Точки А и В находятся на сторонах РЕ и ЕТ треугольника PET соответственно. Прямая, проходящая через вершину

Наталья_2920

40

продолжения сторон РЕ и ET в точках С и D соответственно. Докажите, что отрезки АС и BD равны.

Решение:
1. Для начала, обозначим угол ТРЕ и угол ТЕР как α и β соответственно.
2. Так как прямая, проходящая через вершину Т вне треугольника, пересекает продолжения сторон РЕ и ET в точках С и D соответственно, то угол ТСD является вертикальным углом для угла ТРЕ.
3. Из свойств вертикальных углов следует, что угол ТСД также равен α.
4. Аналогично, угол ТДС является вертикальным углом для угла ТЕР и также равен β.
5. Таким образом, угол ТСД равен углу ТДС, то есть α = β.
6. Рассмотрим треугольники ТАС и ТВD. Уголи ТСА и ТДВ равны, так как они являются соответственными углами.
7. Кроме того, углы СТА и ДТВ равны α и β соответственно.
8. Так как углы СТА и ДТВ равны, а углы САТ и ДВТ также равны, то треугольники ТАС и ТВD подобны по теореме об угловых прямоугольных треугольников.
9. Значит, отношение соответственных сторон в этих треугольниках равно.
10. Отношение длины отрезка АС к длине отрезка BD равно отношению сторон треугольников ТАС и ТВD.
11. Так как треугольники ТАС и ТВD подобны, то отношение сторон ТА к ТВ равно отношению сторон АС к BD.
12. Так как отношение сторон ТА к ТВ равно 1 (так как это одинаковые отрезки, проведенные из одной вершины), то и отношение сторон АС к BD равно 1.
13. Следовательно, отрезки АС и BD равны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что отрезки АС и BD равны.