У якому відношенні ділиться бічна сторона рівнобедреного трикутника точкою дотику вписаного кола, враховуючи вершину

Ryzhik

70

Для розв"язання цієї задачі, давайте подивимося на властивості рівнобедреного трикутника і вповідності його вписаного кола. Зробимо кілька кроків, щоб знайти відношення однієї з бічних сторін до вершини трикутника.

1. Позначимо вершини рівнобедреного трикутника як A, B і C, де AC є основою трикутника, і AB = BC є бічними сторонами.

2. Означимо точку дотику вписаного кола з бічною стороною AB як D.

3. Знаходимо довжину бічної сторони AB. Нехай x позначає довжину бічної сторони AB. Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то AB = BC = x.

4. Оберемо точку Е на бічній стороні AB, так що CE є радіусом вписаного кола трикутника ABC.

5. Оскільки точка D є точкою дотику вписаного кола з бічною стороною AB, то AD і BD є відрізками, що мають спільний кінець з точкою D.

6. Використовуючи властивості вписаного кута, ми знаємо, що кут CAD дорівнює куту CEA, а кут CBD дорівнює куту CEB.

7. Знаходимо довжини відрізків AD і BD у термінах радіуса R вписаного кола та сторони x трикутника ABC. Відстань від вершини C до основи AB буде дорівнювати \(x/2\).

8. Оскільки \(\angle CAD\) та \(\angle CBD\) дорівнюють половині відповідно кутів огиляних вписаних кутів \(C\), а інсцендентні кути до однієї дуги великої частини кола є рівними. Повний градусний кут великої частини кола дорівнює \(360^\circ\). Отже, \(\angle CAD = \angle CBD = 180^\circ - \angle C\)/2.

9. Враховуючи, що трікутник ABC є рівнобедреним, кут \(\angle C\) дорівнює \(180^\circ - 2\angle A\) і \(180^\circ - 2\angle B\).

10. Тоді кути \(\angle CAD\) і \(\angle CBD\) можна записати як \(180^\circ - (180^\circ - 2\angle A)/2\) і \(180^\circ - (180^\circ - 2\angle B)/2\) відповідно.

11. Отримуємо \(\angle CAD = \angle CBD = \angle A = \angle B/2\).

12. Використовуючи теорему синусів для трикутника ACD, ми отримуємо \(\frac{AC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}\).

13. Оскільки \(\angle CAD = \angle A\), то \(\sin(\angle CAD) = \sin(\angle A)\).

14. Одночасно \(\angle ACD = \angle B/2\) і \(\angle CDA = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD)\).

15. Заміщуємо градуси в цій формулі, отримуємо \(\frac{AC}{\sin(\angle A)} = \frac{AD}{\sin(\angle B/2)}\).

16. Враховуючи, що \(\angle A = \angle B/2\), ми отримуємо \(\frac{AC}{\sin(\angle A)} = \frac{AD}{\sin(\angle A)}\).

17. Звідси знаходимо, що \(\frac{AC}{AD} = \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle A)} = 1\).

18. Довжина бічної сторони AB може бути виражена як \(AB = AC + CB\).

19. Оскільки AC = AB = x та \(AC/AD = 1\), то \(AB/AD = 1 + 1 = 2\).

20. Враховуючи, що BD = AB - AD, ми отримуємо \(BD = 2AD - AD = AD\).

21. Отже, відношення, в якому бічна сторона рівнобедреного трикутника ділиться точкою дотику вписаного кола, враховуючи вершину трикутника, становить AD : BD = 1 : 1.