В каком году радионуклид стронций-90 останется в организме человека, если был введен в 1952 году?

Петр

15

Стронций-90 является радиоактивным изотопом со средним временем полураспада около 30 лет. Это означает, что через каждые 30 лет количество стронция-90 в организме уменьшается в два раза.

Известно, что радионуклид был введен в организм в 1952 году. Чтобы определить, в каком году он полностью выйдет из организма, нужно узнать, сколько раз количество стронции-90 уменьшится в два раза за прошедшее время.

Для этого мы должны вычислить разницу между текущим годом и 1952 годом, а затем разделить эту разницу на 30, так как это время полураспада. В итоге получим количество периодов полураспада, прошедших с 1952 года.

Пусть $t$ - количество периодов полураспада, $N$ - количество стронция-90 в организме в начальный момент времени, $N_0$ - начальное количество стронция-90, равное единице.

Мы можем записать формулу, описывающую количество стронция-90 через время $t$:

$$N=N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^t$$

Для нахождения времени, когда количество стронция-90 будет равно нулю, мы можем подставить $N=0$ в формулу и решить ее относительно $t$:

$$0=N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^t$$

Теперь возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

$${\log }_{2}0={\log }_2(N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^t)$$

Учитывая, что ${\log }_a(b\times c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$, получим:

$${\log }_{2}0={\log }_2{N}_0+{\log }_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^t$$

Так как ${\log }_{2}0$ не имеет смысла (логарифм нуля не определен), мы должны приравнять выражение внутри логарифма к нулю:

$${\log }_2{N}_0+{\log }_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^t=0$$

Теперь избавимся от логарифма, применяя эквивалентность логарифмической и экспоненциальной функций:

$$N_0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^t=2^0=1$$

В итоге получаем уравнение:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^t=\frac{1}{N_0}$$

Решая это уравнение, мы найдем $t$ и, следовательно, определим, в каком году стронций-90 полностью выйдет из организма.