В каком году радионуклид стронций-90 останется в организме человека, если был введен в 1952 году?

Петр

15

Стронций-90 является радиоактивным изотопом со средним временем полураспада около 30 лет. Это означает, что через каждые 30 лет количество стронция-90 в организме уменьшается в два раза.

Известно, что радионуклид был введен в организм в 1952 году. Чтобы определить, в каком году он полностью выйдет из организма, нужно узнать, сколько раз количество стронции-90 уменьшится в два раза за прошедшее время.

Для этого мы должны вычислить разницу между текущим годом и 1952 годом, а затем разделить эту разницу на 30, так как это время полураспада. В итоге получим количество периодов полураспада, прошедших с 1952 года.

Пусть \( t \) - количество периодов полураспада, \( N \) - количество стронция-90 в организме в начальный момент времени, \( N_0 \) - начальное количество стронция-90, равное единице.

Мы можем записать формулу, описывающую количество стронция-90 через время \( t \):

\[ N = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^t \]

Для нахождения времени, когда количество стронция-90 будет равно нулю, мы можем подставить \( N = 0 \) в формулу и решить ее относительно \( t \):

\[ 0 = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^t \]

Теперь возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

\[ \log_2 0 = \log_2 \left( N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \]

Учитывая, что \( \log_a (b \times c) = \log_a b + \log_a c \), получим:

\[ \log_2 0 = \log_2 N_0 + \log_2 \left( \frac{1}{2} \right)^t \]

Так как \( \log_2 0 \) не имеет смысла (логарифм нуля не определен), мы должны приравнять выражение внутри логарифма к нулю:

\[ \log_2 N_0 + \log_2 \left( \frac{1}{2} \right)^t = 0 \]

Теперь избавимся от логарифма, применяя эквивалентность логарифмической и экспоненциальной функций:

\[ N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^t = 2^0 = 1 \]

В итоге получаем уравнение:

\[ \left( \frac{1}{2} \right)^t = \frac{1}{N_0} \]

Решая это уравнение, мы найдем \( t \) и, следовательно, определим, в каком году стронций-90 полностью выйдет из организма.