В представленной диаграмме изображены 12 точек, равномерно расположенных вокруг окружности. Эти точки помечены числами

Veselyy_Pirat

69

Чтобы решить эту задачу, мы можем определить количество треугольников с остроугольными углами, как количество комбинаций трех различных чисел из множества чисел 1, 2 и 3. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Определение количества треугольников с тремя различными вершинами.
У нас есть 12 точек вокруг окружности, обозначенных числами 1, 2 и 3. Чтобы найти количество треугольников с тремя различными вершинами, мы можем воспользоваться формулой сочетаний из комбинаторики. Количество сочетаний из 12 по 3 будет равно:

\[\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = 220\]

Это значит, что у нас есть 220 способов выбрать тройку точек из 12 возможных.

Шаг 2: Исключение треугольников с тупыми углами.
Мы хотим найти количество треугольников с остроугольными углами, поэтому нам нужно исключить треугольники со сторонами, более чем две из которых соединены друг с другом на окружности. Чтобы сделать это, нам нужно найти количество выборов трех точек с одинаковыми числами.

Возьмем, например, три точки, помеченные 1. Мы можем выбрать 3 такие точки из доступных 4 точек помеченных 1. То же самое верно и для точек 2 и 3. Очевидно, что есть 3 таких возможности.

Учитывая это, нам нужно исключить количество треугольников, состоящих из трех точек с одним и тем же числом. Так как есть 3 различных числа, мы должны вычесть количество треугольников с однирковыми числами 3 раз.

\[\text{Итоговое количество треугольников с остроугольными углами} = \text{Количество всех треугольников} - \text{Количество треугольников с тупыми углами}\]
\[\text{Итоговое количество треугольников с остроугольными углами} = 220 - 3\]

Таким образом, итоговое количество треугольников с остроугольными углами, где все три вершины помечены различными числами, равно 217.