В треугольнике ABC (рис. 111) проведены медианы AK, BN и CL, точка M — их точка пересечения, и прямая NF параллельна

Скворец_2405

18

Пусть AK равно \(a\). Так как AK - медиана треугольника ABC, то BK также равно \(a\). Точка M - точка пересечения медиан треугольника ABC, поэтому AM и BM также равны \(a\).

Так как BN - медиана треугольника ABC, то CN также равно \(a\). Поскольку CL - медиана, BL равно \(a\), а значит, имеем равенство CL=BL+LC=2a.

Мы знаем, что NF параллельна AK, поэтому треугольники NBM и AKM подобны. Из этого следует, что соотношение сторон треугольников равно соотношению сторон противоположных углов. То есть, \(\frac{BM}{AK} = \frac{MN}{MK}\).

Но мы уже знаем, что BM равно \(a\) и AK также равно \(a\), следовательно, \(\frac{MN}{MK} = 1\).

Таким образом, треугольник NMF является равнобедренным треугольником, так как NM равно MK.

Поскольку треугольник NMF равнобедренный, то сторона MF равна стороне NF, которая параллельна и равна AK. Следовательно, MF равно \(a\). Также, NM равно \(a\), как уже было доказано.

Таким образом, периметр треугольника NMF равен сумме всех его сторон, то есть \(a + a + a = 3a\).

Ответ: периметр треугольника NMF равен \(3a\).