В треугольнике АВС, у которого вершины А(-6;2), В(2;-2) и С(1;2), найдите: а) уравнение медианы, проходящей через точку

Serdce_Skvoz_Vremya_7014

58

Хорошо, давайте начнем с решения этой задачи.

а) Чтобы найти уравнение медианы, проходящей через точку А(-6;2) и середину стороны ВС, нам нужно вычислить координаты середины стороны ВС и затем использовать эти координаты для нахождения уравнения медианы.

Сначала найдем координаты середины стороны ВС. Для этого мы должны найти среднее арифметическое координат точек В(2;-2) и С(1;2).

x-координата середины стороны ВС = (x-координата В + x-координата С) / 2
= (2 + 1) / 2
= 3 / 2
= 1.5

y-координата середины стороны ВС = (y-координата В + y-координата С) / 2
= (-2 + 2) / 2
= 0 / 2
= 0

Таким образом, координаты середины стороны ВС равны (1.5; 0).

Для нахождения уравнения медианы, мы знаем, что медиана проходит через точку А(-6;2) и середину стороны ВС (1.5; 0). Медиана также делит сторону на две равные части. Поэтому вектор, направленный от точки А до середины стороны ВС, будет направлен к точке С(1;2).

Вектор AB = (x2 - x1; y2 - y1) = (1.5 - (-6); 0 - 2) = (7.5; -2)

Теперь мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-6;2) и направленной вдоль вектора AB, используя общую формулу прямой:

y - y1 = m(x - x1),

где m - это угловой коэффициент прямой, а (x1, y1) - координаты точки А(-6;2).

Угловой коэффициент m в данном случае равен y-составляющей вектора AB, деленной на x-составляющую вектора AB:

m = (-2) / (7.5) = -2/7.5 = -4/15

Заменяя значение точки А(-6;2), угловой коэффициент и решая уравнение, получаем:

y - 2 = (-4/15)(x + 6)

Упрощая уравнение:

15y - 30 = -4(x + 6)
15y - 30 = -4x - 24
15y = -4x + 6
4x + 15y = 6

Итак, уравнение медианы, проходящей через точку А(-6;2) и середину стороны ВС, равно 4x + 15y = 6.

б) Чтобы найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки В(2;-2) на медиану АМ, нам нужно сначала найти угловой коэффициент медианы АМ, а затем использовать его для нахождения углового коэффициента перпендикуляра.

Утверждается, что медиана делит сторону пополам, поэтому мы знаем, что угловой коэффициент медианы равен угловому коэффициенту, вычисленному в пункте а).

Угловой коэффициент медианы = -4/15

Чтобы найти угловой коэффициент перпендикуляра, мы используем свойство перпендикулярных прямых, согласно которому произведение их угловых коэффициентов равно -1.

Угловой коэффициент перпендикуляра = -1 / (-4/15) = 15/4

Зная угловой коэффициент перпендикуляра и координаты точки В(2;-2), мы можем записать уравнение перпендикуляра, используя общую формулу прямой:

y - y1 = m(x - x1),

где (x1, y1) - координаты точки В(2;-2) и m - угловой коэффициент перпендикуляра.

Подставляя значения, получаем:

y - (-2) = (15/4)(x - 2)

Упрощая уравнение:

y + 2 = (15/4)(x - 2)
4y + 8 = 15x - 30
15x - 4y = 38

Итак, уравнение перпендикуляра, опущенного из точки В(2;-2) на медиану АМ, равно 15x - 4y = 38.

в) Чтобы найти длину высоты ВН, проведенной из точки В(2;-2), мы должны сначала найти уравнение прямой, содержащей сторону АС, а затем найти перпендикуляр этой прямой, проходящий через точку В(2;-2).

Уравнение стороны АС можно найти, используя координаты точек А(-6;2) и С(1;2). Так как y-координаты точек А и С одинаковые, сторона АС параллельна оси x и ее уравнение будет иметь вид y = const.

Вычислим const, используя координаты точки С(1;2):

const = 2

Таким образом, уравнение стороны АС равно y = 2.

Теперь мы можем найти уравнение перпендикуляра к этой стороне, проходящего через точку В(2;-2). Угловой коэффициент этого перпендикуляра будет равен -1/угловому коэффициенту стороны АС, то есть -1/0, так как угловой коэффициент стороны АС равен 0.

Таким образом, уравнение перпендикуляра будет иметь вид x = const.

Подставляя координаты точки В(2;-2), получаем:

x - 2 = 0
x = 2

Таким образом, уравнение перпендикуляра, опущенного из точки В(2;-2) на медиану АМ, равно x = 2.

Чтобы построить соответствующую схему, нам нужен график треугольника АВС и найденные прямые. Схема может быть создана при помощи графического редактора или с помощью бумаги и ручки.

Ниже я предоставлю LaTeX код для вставки формул:

а) Уравнение медианы через точку А(-6;2) и середину стороны ВС (1.5; 0):
\[4x + 15y = 6\]

б) Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки В(2;-2) на медиану АМ:
\[15x - 4y = 38\]

в) Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки В(2;-2) на сторону АС:
\[x = 2\]

(Здесь должна быть вставлена схема, но в текстовом формате это невозможно.)

Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!