Вариант 2 1. Каков диаметр сечения шара, удаленного от центра шара на √5 см, если равен радиус равен 4 см? Нужно найти

Ilya

48

1. Для решения первой задачи, нам нужно найти диаметр сечения шара, удалённого от его центра на \(\sqrt{5}\) см. Дано, что радиус \(r\) шара равен 4 см.

Первым шагом найдём расстояние от центра шара до сечения. По теореме Пифагора, получаем:

\[a^2 = c^2 - b^2\]

где \(a\) - расстояние от центра до сечения, \(b\) - радиус шара, \(c\) - расстояние от центра до точки сечения. В данном случае, \(b = 4\) см и \(a = \sqrt{5}\) см. Подставляя значения, находим:

\[\sqrt{5}^2 = c^2 - 4^2\]
\[5 = c^2 - 16\]
\[c^2 = 21\]
\[c = \sqrt{21}\]

Таким образом, расстояние \(c\) равно \(\sqrt{21}\) см. Чтобы найти диаметр, умножим это расстояние на 2:

\[d = 2c = 2\sqrt{21}\]

Таким образом, диаметр сечения шара, удалённого от его центра на \(\sqrt{5}\) см, равен \(2\sqrt{21}\) см.

Теперь найдём площадь поверхности шара. Формула для площади поверхности шара:

\[S = 4\pi r^2\]

В данном случае, \(r = 4\) см, подставляя значения:

\[S = 4\pi(4^2) = 4\pi(16) = 64\pi\]

Таким образом, площадь поверхности шара равна \(64\pi\) квадратных сантиметров.

Для нахождения объёма шара, используем формулу:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Подставляем значение радиуса:

\[V = \frac{4}{3}\pi(4^3) = \frac{4}{3}\pi(64) = \frac{256}{3}\pi\]

Таким образом, объём шара равен \(\frac{256}{3}\pi\) кубических сантиметров.

2. Вторая задача требует найти боковую поверхность цилиндра, когда известна хорда нижнего основания \(a\), угол наблюдения \(\alpha\) и угол \(\beta\), который образуется отрезком, соединяющим центр верхнего основания с серединой хорды, с плоскостью основания.

Для нахождения боковой поверхности цилиндра, нужно знать радиус основания \(r\) и высоту цилиндра \(h\). При этом хорда нижнего основания \(a\) служит диаметром окружности.

Сначала определим радиус \(r\). Так как \(a\) - хорда является диаметром, радиус равен \(\frac{a}{2}\).

Для нахождения высоты \(h\) воспользуемся формулой:

\[h = r\tan(\alpha)\]

Теперь, для нахождения боковой поверхности, воспользуемся формулой:

\[S_{бок} = 2\pi rh\]

Подставляем значения радиуса \(r\) и высоты \(h\):

\[S_{бок} = 2\pi(\frac{a}{2})\tan(\alpha)\]

Получаем окончательное выражение для боковой поверхности цилиндра в зависимости от заданных величин.

3. В третьей задаче нужно найти объем тела вращения, когда прямоугольный треугольник со стороной \(a\) и углом \(\alpha\) вращается вокруг второй стороны.

Объем тела вращения можно найти с помощью формулы:

\[V = \pi\int_{a}^{b} f(x)^2 dx\]

В данном случае, нас интересует вращение треугольника вокруг второй катета, то есть \(b = 2\sqrt{3}\) см. Аппроксимируем треугольник с помощью функции \(f(x)\). Так как сечением тела будет круг, а радиус этого круга равен \(f(x)\), сечение можно представить в виде равнобедренного треугольника. Высота такого треугольника будет соответствовать значению функции \(f(x)\), а база - координате \(x\).

Таким образом, функцию \(f(x)\) можно задать следующим образом:

\[f(x) = \frac{a}{b}x\]

Для нахождения объема тела вращения, мы должны проинтегрировать \(f(x)^2\) от \(a\) до \(b\):

\[V = \pi\int_{a}^{b} (\frac{a}{b}x)^2 dx\]

Подставляем значения \(a\) и \(b\) для нашей задачи:

\[V = \pi\int_{0}^{2\sqrt{3}} (\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}x)^2 dx\]

Можно заметить, что \(\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1\), поэтому упрощаем выражение:

\[V = \pi\int_{0}^{2\sqrt{3}} x^2 dx\]

Теперь можем проинтегрировать:

\[V = \pi(\frac{x^3}{3})\Big|_0^{2\sqrt{3}} = \pi(\frac{(2\sqrt{3})^3}{3} - \frac{0^3}{3}) = \pi(\frac{24\sqrt{3}}{3}) = 8\pi\sqrt{3}\]

Таким образом, объем тела вращения равен \(8\pi\sqrt{3}\) кубических сантиметров.