Вася готовится к ЕГЭ по информатике и тренируется решать задачу номер 23. Он нашел много вариантов этой задачи
Вася готовится к ЕГЭ по информатике и тренируется решать задачу номер 23. Он нашел много вариантов этой задачи, но не нашел ответы к ним. Во всех найденных вариантах задача формулируется одинаково, только числа различаются: Исполнитель изменяет число на экране. У исполнителя есть две команды с номерами: 1. Увеличить на 1 2. Умножить на k. Первая команда увеличивает число на 1, а вторая умножает его на k. Программа для исполнителя представляет собой последовательность команд. Каково количество программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число
Luna_V_Ocheredi_1549 68
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать комбинаторику и применить метод динамического программирования.Пусть задано число \(N\) - искомое число, а значение \(k\) - коэффициент, на который мы умножаем число при выполнении второй команды.
Обозначим через \(F(n)\) количество программ, при которых исходное число 1 превращается в число \(n\).
Тогда значение \(F(n)\) можно представить через сумму значений \(F(i-1)\) и \(F(i/k)\), где \(i\) - число, которое было достигнуто до применения команды номер 2.
Изначально, значения нашей функции \(F(n)\) равны нулю для всех чисел, кроме 1, где \(F(1)=1\).
Применим этот подход к решению данной задачи:
1. Сначала создадим массив \(dp\) размером \(N+1\) и заполним все его элементы нулями.
2. Затем инициализируем \(dp[1] = 1\), так как исходное число равно 1.
3. Далее запустим цикл от 2 до \(N\) и для каждого числа \(i\) будем вычислять значение \(dp[i]\) следующим образом:
* Инициализируем \(dp[i] = dp[i-1]\), так как выполнение первой команды увеличивает число на 1.
* Если \(i\) делится на \(k\) без остатка, то увеличим \(dp[i]\) на \(dp[i/k]\), так как при выполнении второй команды получаем число \(i\) путем деления на \(k\).
4. В конце цикла значение \(dp[N]\) будет содержать количество программ, при которых исходное число 1 превращается в число \(N\).
Таким образом, для решения задачи, Васе будет необходимо выполнить следующие шаги:
1. Создать массив \(dp\) размером \(N+1\) и заполнить все его элементы нулями.
2. Инициализировать \(dp[1] = 1\).
3. Запустить цикл от 2 до \(N\) и для каждого числа \(i\) выполнить следующие действия:
a. \(dp[i] = dp[i-1]\)
b. Если \(i\) делится на \(k\) без остатка, то \(dp[i] += dp[i/k]\)
4. Получить значение ответа в переменной \(answer\) из элемента \(dp[N]\).
Таким образом, количество программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число \(N\), будет равно \(dp[N]\).
Данное решение основано на динамическом программировании и работает за время \(O(N)\), что является эффективным способом решения задачи при больших значениях \(N\).