Вася готовится к ЕГЭ по информатике и тренируется решать задачу номер 23. Он нашел много вариантов этой задачи

Luna_V_Ocheredi_1549

68

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать комбинаторику и применить метод динамического программирования.

Пусть задано число $N$ - искомое число, а значение $k$ - коэффициент, на который мы умножаем число при выполнении второй команды.

Обозначим через $F(n)$ количество программ, при которых исходное число 1 превращается в число $n$.
Тогда значение $F(n)$ можно представить через сумму значений $F(i-1)$ и $F(i/k)$, где $i$ - число, которое было достигнуто до применения команды номер 2.

Изначально, значения нашей функции $F(n)$ равны нулю для всех чисел, кроме 1, где $F(1)=1$.

Применим этот подход к решению данной задачи:
1. Сначала создадим массив $dp$ размером $N+1$ и заполним все его элементы нулями.
2. Затем инициализируем $dp[1]=1$, так как исходное число равно 1.
3. Далее запустим цикл от 2 до $N$ и для каждого числа $i$ будем вычислять значение $dp[i]$ следующим образом:
* Инициализируем $dp[i]=dp[i-1]$, так как выполнение первой команды увеличивает число на 1.
* Если $i$ делится на $k$ без остатка, то увеличим $dp[i]$ на $dp[i/k]$, так как при выполнении второй команды получаем число $i$ путем деления на $k$.
4. В конце цикла значение $dp[N]$ будет содержать количество программ, при которых исходное число 1 превращается в число $N$.

Таким образом, для решения задачи, Васе будет необходимо выполнить следующие шаги:

1. Создать массив $dp$ размером $N+1$ и заполнить все его элементы нулями.
2. Инициализировать $dp[1]=1$.
3. Запустить цикл от 2 до $N$ и для каждого числа $i$ выполнить следующие действия:
a. $dp[i]=dp[i-1]$
b. Если $i$ делится на $k$ без остатка, то $dp[i]+=dp[i/k]$
4. Получить значение ответа в переменной $answer$ из элемента $dp[N]$.

Таким образом, количество программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число $N$, будет равно $dp[N]$.

Данное решение основано на динамическом программировании и работает за время $O(N)$, что является эффективным способом решения задачи при больших значениях $N$.