Во сколько раз период обращения одной планеты больше, чем период обращения другой планеты, если отношение квадратов

Dozhd

5

Для решения этой задачи, нам нужно использовать третий закон Кеплера, который гласит:

"Квадрат периода обращения планеты прямо пропорционален кубу большой полуоси её орбиты."

Пусть \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения двух планет, а \(a_1\) и \(a_2\) - большие полуоси их орбит соответственно.

Исходя из данного условия, у нас есть:

\[\frac{a_1^2}{a_2^2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2\]

Мы хотим найти отношение периодов обращения планет \(T_1\) и \(T_2\), поэтому будем решать данное уравнение относительно этого отношения.

Заметим, что данное уравнение можно переписать следующим образом:

\[\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_2^2}{a_1^2}\]

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[(T_1^2)(T_2^2) = (a_2^2)(a_1^2)\]

Подставим вместо \(T_1^2/a_1^2\) и \(T_2^2/a_2^2\) значение из условия:

\[(T_1^2)(T_2^2) = (a_2^2)(a_1^2)\]

\[(T_1^2)(T_2^2) = (a_1^2)(a_2^2)\]

Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[T_1 \cdot T_2 = a_1 \cdot a_2\]

Наконец, делим обе части уравнения на \(T_2\) и приводим подобные:

\[T_1 = \frac{a_1 \cdot a_2}{T_2}\]

Таким образом, период обращения первой планеты \(T_1\) равен произведению больших полуосей орбит \(a_1\) и \(a_2\), деленному на период обращения второй планеты \(T_2\).

Надеюсь, что данное пошаговое решение поможет вам понять, как получить отношение периодов обращения двух планет на основе данного условия. Если у вас возникнут ещё вопросы, буду рад помочь!