What is the length of a pendulum with a period of 1 second, when it is: a) on the Moon (g_moon = 160 cm/s^2

Zolotoy_Medved

36

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу для периода колебаний математического маятника:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

Где:
\( T \) - период колебаний,
\( L \) - длина маятника,
\( g \) - ускорение свободного падения.

a) На Луне:
Ускорение свободного падения на Луне составляет \( g_{\text{moon}} = 160 \, \text{см/с}^2 \). Мы знаем, что период колебаний равен 1 секунде. Подставим значения в формулу и найдем длину маятника:

\[ 1 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{160}} \]

Для начала, избавимся от констант, разделив обе части уравнения на \( 2\pi \):

\[ \frac{1}{2\pi} = \sqrt{\frac{L}{160}} \]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 = \frac{L}{160} \]

Выполним вычисления:

\[ \frac{1}{(2\pi)^2} = \frac{L}{160} \]

\[ \frac{1}{4\pi^2} = \frac{L}{160} \]

Теперь решим полученное уравнение относительно \( L \):

\[ L = \frac{1}{4\pi^2} \cdot 160 \]

\[ L = \frac{160}{4\pi^2} \]

Таким образом, на Луне длина маятника с периодом колебаний 1 секунда составляет примерно \(\frac{160}{4\pi^2}\) сантиметров.

b) На Марсе:
Ускорение свободного падения на Марсе равно \( g_{\text{mars}} = 360 \, \text{см/с}^2 \). Мы знаем, что период колебаний равен 1 секунде. Подставим значения в формулу и найдем длину маятника:

\[ 1 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{360}} \]

Избавимся от констант:

\[ \frac{1}{2\pi} = \sqrt{\frac{L}{360}} \]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 = \frac{L}{360} \]

Выполним вычисления:

\[ \frac{1}{(2\pi)^2} = \frac{L}{360} \]

\[ \frac{1}{4\pi^2} = \frac{L}{360} \]

Решим полученное уравнение относительно \( L \):

\[ L = \frac{1}{4\pi^2} \cdot 360 \]

\[ L = \frac{360}{4\pi^2} \]

Таким образом, на Марсе длина маятника с периодом колебаний 1 секунда равна примерно \(\frac{360}{4\pi^2}\) сантиметров.