What is the length of the median AM, the cosine of angle VAS, and the area of triangle ABC with vertices A(-2,1

Путешественник

18

Хорошо, начнем с расчета длины медианы AM треугольника ABC. Чтобы найти длину медианы, нам сначала понадобится найти координаты его концов.

Для треугольника ABC, вершина A имеет координаты (-2,1), вершина B - (2,4), а вершина C - (6,-2).

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для медианы AM, середина стороны BC будет точкой M.

Сначала найдем координаты точки M. Для этого нам понадобится найти среднее арифметическое координат x и y вершин B и C.

\(x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

\(y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

Таким образом, координаты точки M равны (4,1).

Теперь, чтобы найти длину медианы AM, мы должны вычислить расстояние между точками A и M. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставим значения:

\[d = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2}} = \sqrt{{6^2 + 0^2}} = \sqrt{{36}} = 6\]

Таким образом, длина медианы AM треугольника ABC равна 6.

Теперь давайте найдем косинус угла VAS. Для этого нам потребуется использовать координаты вершин треугольника.

Вершина S имеет координаты (4,1), вершина A - (-2,1), а вершина V - (-2,4).

Косинус угла VAS можно найти, используя формулу косинуса:

\[\cos(\angle VAS) = \frac{{AB^2 + AS^2 - BS^2}}{{2 \cdot AB \cdot AS}}\]

Первым шагом найдем длины отрезков AB, AS и BS, используя формулу расстояния между двумя точками.

Длина отрезка AB:
\[AB = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}\]
\[AB = \sqrt{{(2 - (-2))^2 + (4 - 1)^2}} = \sqrt{{4^2 + 3^2}} = \sqrt{{16 + 9}} = \sqrt{{25}} = 5\]

Длина отрезка AS:
\[AS = \sqrt{{(x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2}}\]
\[AS = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2}} = \sqrt{{6^2 + 0^2}} = \sqrt{{36}} = 6\]

Длина отрезка BS:
\[BS = \sqrt{{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}}\]
\[BS = \sqrt{{(4 - 2)^2 + (1 - 4)^2}} = \sqrt{{2^2 + (-3)^2}} = \sqrt{{4 + 9}} = \sqrt{{13}}\]

Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу косинуса для вычисления угла VAS:

\[\cos(\angle VAS) = \frac{{AB^2 + AS^2 - BS^2}}{{2 \cdot AB \cdot AS}}\]
\[\cos(\angle VAS) = \frac{{5^2 + 6^2 - \sqrt{{13}}^2}}{{2 \cdot 5 \cdot 6}}\]
\[\cos(\angle VAS) = \frac{{25 + 36 - 13}}{{60}}\]
\[\cos(\angle VAS) = \frac{{48}}{{60}}\]
\[\cos(\angle VAS) = \frac{{4}}{{5}}\]

Таким образом, косинус угла VAS равен \(\frac{{4}}{{5}}\).

Теперь перейдем к нахождению площади треугольника ABC. Для вычисления площади используем формулу Герона:

\[S = \sqrt{{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - CA)}}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(AB\), \(BC\), \(CA\) - длины сторон треугольника.

Сначала найдем длины сторон треугольника ABC.

Длина стороны AB уже была рассчитана ранее и равна 5.

Длина стороны BC:
\[BC = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}}\]
\[BC = \sqrt{{(6 - 2)^2 + (-2 - 4)^2}} = \sqrt{{4^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{16 + 36}} = \sqrt{{52}} = 2\sqrt{{13}}\]

Длина стороны CA:
\[CA = \sqrt{{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}}\]
\[CA = \sqrt{{(-2 - 6)^2 + (1 - (-2))^2}} = \sqrt{{(-8)^2 + 3^2}} = \sqrt{{64 + 9}} = \sqrt{{73}}\]

Теперь найдем полупериметр треугольника \(p\):
\[p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{5 + 2\sqrt{{13}} + \sqrt{{73}}}}{2}\]

Теперь подставим все значения в формулу Герона для вычисления площади треугольника ABC:

\[S = \sqrt{{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - CA)}}\]
\[S = \sqrt{{\left(\frac{{5 + 2\sqrt{{13}} + \sqrt{{73}}}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{5 + 2\sqrt{{13}} + \sqrt{{73}}}}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{{5 + 2\sqrt{{13}} + \sqrt{{73}}}}{2} - 2\sqrt{{13}}\right) \cdot \left(\frac{{5 + 2\sqrt{{13}} + \sqrt{{73}}}}{2} - \sqrt{{73}}\right)}}\]

Для получения численного значения площади, вы можете использовать калькулятор.

Таким образом, мы получаем расчетную площадь треугольника ABC с вершинами A(-2,1), B(2,4) и C(6,-2).