Як буде змінюватися період вільних коливань електромагнітних коливань у коливальному контурі, якщо збільшити ємність

Kosmicheskiy_Puteshestvennik

35

Щоб вирішити цю задачу, ми спочатку використаємо формулу для резонансної частоти \(\omega_0\) коливального контуру:

\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]

де \(L\) - індуктивність котушки, а \(C\) - ємність конденсатора.

Зауважте, що період коливань \(T\) зв"язаний з резонансною частотою наступним чином:

\[T = \frac{2\pi}{\omega_0}\]

Тепер розглянемо, як зміниться період коливань при збільшенні ємності конденсатора в 9 разів і зменшенні індуктивності котушки в 16 разів.

Замість \(C\) ми будемо мати \(9C\), а замість \(L\) - \(L/16\). Підставивши ці значення в формулу для \(\omega_0\), ми отримаємо нову резонансну частоту:

\[\omega_1 = \frac{1}{\sqrt{(L/16)(9C)}}\]

Спростивши це вираз, отримаємо:

\[\omega_1 = \frac{1}{\sqrt{9L/16C}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{L/C}}\]

Порівнявши з початковою резонансною частотою, бачимо, що нова резонансна частота збільшується на множник \(\frac{4}{3}\).

Використовуючи формулу для періоду коливань, отримаємо новий період \(T_1\) коливань:

\[T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{L/C}}} = \frac{3\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}\]

Таким чином, період коливань збільшується на множник \(\frac{3\pi}{2}\), тобто стає більшим у \(1.5\) рази.

Отже, якщо збільшити ємність конденсатора в 9 разів та зменшити індуктивність котушки в 16 разів, період вільних коливань електромагнітного коливання у коливальному контурі збільшиться у \(1.5\) рази.