Яка довжина гіпотенузи при відношенні катетів 2 : 3 та перевищенні проекції першого катета на гіпотенузу на 2

Сладкий_Пони

19

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора, так как она позволяет нам находить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если известны длины его катетов.

Заданное отношение катетов 2 : 3 означает, что длина первого катета будет 2x, а второго катета — 3x, где x - неизвестная длина.

Условие о перевищенні проекції першого катета на гіпотенузу на 2 см від проекції другого катета говорит нам, что разность между проекциями первого катета и второго катета составляет 2 см.

Пусть H будет длина гипотенузы.

Тогда по теореме Пифагора мы можем записать следующее уравнение:

\[(2x)^2 + (3x)^2 = H^2\]

разложим это уравнение:

\[4x^2 + 9x^2 = H^2\]

сложим x^2

\[13x^2 = H^2\]

Теперь воспользуемся условием "первый катет перевищує проекцію другого на 2 см":

первый катет = гипотенуза - второй катет - 2

\[2x = H - 3x - 2\]

перенесем все в одну часть уравнения

\[4x + 3x = H - 2\]

\[7x = H - 2\]

теперь мы можем заменить \(H^2\) в уравнении Пифагора на \(13x^2\) и получить следующее уравнение:

\[13x^2 = (7x + 2)^2\]

разложим его:

\[13x^2 = 49x^2 + 28x + 4\]

отнимем \(13x^2\) с обеих сторон:

\[0 = 36x^2 + 28x + 4\]

теепрь раскроем скобки и перенесем все в одну часть

\[36x^2 + 28x + 4 = 0\]

мы получили квадратное уравнение, которое нужно решить. Вычисление корней этого уравнения слишком сложно.