Яка довжина хорди CD у колі, якщо діаметр AB та хорда AC дорівнюють 12 см, кут BAC дорівнює 30°, а AB перпендикулярна

Oleg

14

Чтобы найти длину хорды CD в данном круге, мы можем воспользоваться свойствами описанного вокруг круга четырехугольника.

Сначала, давайте определимся с базовыми свойствами описанного вокруг круга четырехугольника. Если вписанный угол опирается на дугу с центральным углом \(\theta\) (в данном случае, угол BAC), то величина этой дуги будет равна 2\(\theta\).

Нам известно, что диаметр AB равен 12 см. С другой стороны, мы знаем, что AB перпендикулярна хорде AC. Из этой информации мы можем сделать вывод, что угол BAC является прямым углом.

Таким образом, у нас есть правильный треугольник ABC, в котором сторона AB является гипотенузой, сторона AC является половиной гипотенузы, а угол BAC равен 30°.

Так как сторона AB равна 12 см, сторона AC будет равна половине этой длины, то есть 6 см.

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину хорды CD.

В трапеции ABCD длина хорды CD будет равна двойному произведению стороны AC на синус половины центрального угла BAC:

\[CD = 2 \cdot AC \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\]

Подставляя значения, получаем:

\[CD = 2 \cdot 6 \cdot \sin\left(\frac{30°}{2}\right)\]

Упрощая выражение получаем:

\[CD = 12 \cdot \sin\left(15°\right)\]

Теперь нам нужно найти значение синуса 15°, которое справедливо округлить до двух знаков после запятой.

\[sin(15°) \approx 0.259\]

Подставим найденное значение и вычислим длину хорды CD:

\[CD \approx 12 \cdot 0.259 = 3.108\]

Таким образом, длина хорды CD в данном случае составляет примерно 3.108 см.