Яка довжина сторони fc трикутника cdf, якщо площина β перетинає сторони cf і cd у точках m і q відповідно, також

Darya

41

Для нашого розв"язку потрібно застосувати теорему Талеса і використати властивості паралельних ліній.

За теоремою Талеса, якщо паралельні прямі лінії перетинають дві сторони трикутника, то відношення відрізків цих сторін є однаковим.

Ми знаємо, що MQ = 6 см і FD = 25 см. За властивостями паралельних ліній, лінії FM і QD також є паралельними. Тому відрізок FM також треба розділити у відповідному відношенні.

Давайте позначимо довжину відрізка FM як x. Оскільки FD = 25 см, а MQ = 6 см, ми можемо скласти наступне рівняння відношення:

\(\frac{{FM}}{{FD}} = \frac{{MQ}}{{QD}}\)

\(\frac{{x}}{{25}} = \frac{{6}}{{QD}}\)

Ми повинні визначити довжину відрізка QD. За теоремою Талеса, відношення MQ до QD буде таким самим, як відношення FM до FD. Тому ми можемо записати наступне рівняння:

\(\frac{{MQ}}{{QD}} = \frac{{FM}}{{FD}}\)

\(\frac{{6}}{{QD}} = \frac{{x}}{{25}}\)

Але ми знаємо, що \(\frac{{x}}{{25}} = \frac{{6}}{{QD}}\). Тому ми можемо скласти наступне рівняння:

\(\frac{{6}}{{QD}} = \frac{{x}}{{25}}\)

Розмножимо взаємні частини обох боків:

\(6 \cdot 25 = QD \cdot x\)

\(150 = QD \cdot x\)

Зрозуміло, що QD і FD складаються з \((QD + FD) = 25\) см, тому \(QD = 25 - x\).

Підставимо це значення в рівняння:

\(150 = (25 - x) \cdot x\)

\(150 = 25x - x^2\)

Перенесемо все в одну частину рівняння і розпишемо:

\(x^2 - 25x + 150 = 0\)

Тепер ми можемо розв"язати це квадратне рівняння. Обчислимо дискримінант:

\(D = b^2 - 4ac\)

\(D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150\)

\(D = 625 - 600\)

\(D = 25\)

Оскільки дискримінант дорівнює 25, це означає, що ми маємо два корені - один позитивний і один негативний, але для відрізка довжини відому має бути лише позитивне значення.

Тому, щоб визначити довжину відрізка FM, ми використовуємо позитивне значення кореня:

\(x = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}}\)

\(x = \frac{{-(-25) + \sqrt{25}}}{{2 \cdot 1}}\)

\(x = \frac{{25 + 5}}{{2}}\)

\(x = \frac{{30}}{{2}}\)

\(x = 15\)

Таким чином, довжина відрізка FM дорівнює 15 см. За властивостями паралелограма, відрізок FD має таку саму довжину:

Досить очевидно, що довжина сторони FC трикутника CDF складається з суми довжин відрізків FC і FM:

\(FC = FD + FM\)

\(FC = 25 + 15\)

\(FC = 40\)

Таким чином, довжина сторони FC трикутника CDF дорівнює 40 см.