Яка довжина тропіку, який простягається від заходу до сходу?

Ogonek

35

Довжина тропіку може быть найдена, знаючи радіус Землі та кутову широту, до якої простягається тропік. Радіус Землі вважається близько 6371 км. Кутова широта тропіків становить приблизно 23.5 градусів.

Для обчислення довжини тропіку від заходу до сходу спочатку розрахуємо довжину кола на поверхні Землі, яке є екватором. Формула для обчислення довжини кола - \(L = 2 \pi r\), де \(L\) - довжина кола, \(\pi\) - число Пі (приблизно 3.14159), \(r\) - радіус кола.

Таким чином, довжина екватора розраховується за формулою:
\[L = 2 \pi \times r_{\text{Землі}}\]
\[L = 2 \times 3.14159 \times 6371 \text{ км}\]
\[L \approx 40075 \text{ км}\]

Довжину тропіка ми можемо вважати як відстань від заходу до сходу екватора вздовж тропіка. Щоб знайти довжину тропіка, ми повинні враховувати, що радіус тропіка є меншим за радіус Землі.

Радіус тропіка можна розрахувати використовуючи трикутник з вершинами при полюсах, центром Землі та поверхнею тропіка. В утвореному трикутнику відомі дві сторони: радіус Землі та відрізок між полюсами. Довжина відрізка між полюсами дорівнює половині довжини екватора (так як екватор пролягає через центр Землі та розділяє полюси на рівні частини).

Ми можемо знайти сторону трикутника - радіус тропіка, використовуючи теорему косинусів:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]
де \(c\) - сторона трикутника, \(a\) та \(b\) - відомі сторони, \(C\) - відомий кут, що розташований проти сторони \(c\).

В нашому випадку, \(a\) дорівнює радіусу Землі, \(b\) - відрізку між полюсами, \(C\) - прямий кут (так як полюси розташовані прямокутно до екватора).

Підставимо відповідні значення до формули:
\[c^2 = r_{\text{Землі}}^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 - 2 \times r_{\text{Землі}} \times \frac{L}{2} \times \cos(90^\circ)\]

Для простоти розрахунків, замість кута використовуємо його значення у радіанах: \(90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ рад}\)

\[c^2 = r_{\text{Землі}}^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 - 2 \times r_{\text{Землі}} \times \frac{L}{2} \times \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\]

Виконавши обчислення, отримаємо:
\[c \approx 10,038.6 \text{ км}\]

Отже, довжина тропіка від заходу до сходу становить приблизно 10,038.6 км