Яка швидкість човна vч у стоячій воді (у км/год), якщо човен перетнув течію протягом 4 км і повернувся назад

Magiya_Morya

21

Для решения этой задачи воспользуемся формулой скорости.

Пусть \(v_{ч}\) - скорость човна в стоячей воде (в км/ч).

При движении против течения човн движется со скоростью \(v_{ч} - v_{т}\), где \(v_{т}\) - скорость течения (в км/ч).

Таким образом, время \(t_1\) движения против течения можно выразить следующим образом: \(t_1 = \frac{4}{v_{ч} - v_{т}}\), где 4 - расстояние, пройденное при движении против течения (в км).

При движении по течению човн движется со скоростью \(v_{ч} + v_{т}\).

Так как время, затраченное на обратный путь на 15 минут меньше, чем время, затраченное на движение против течения, то время \(t_2\) движения по течению можно выразить так: \(t_2 = \frac{4}{v_{ч} + v_{т}} - \frac{15}{60}\), где 4 - расстояние, пройденное при движении по течению (в км), \(\frac{15}{60}\) - время в часах, которое составляет 15 минут.

Таким образом, общее время движения \(t_1 + t_2\) равно 4 часам (так как човен проходит расстояние 4 км в течение 4 часов).

Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\) и решим уравнение относительно \(v_{ч}\).

\[\frac{4}{v_{ч} - v_{т}} + \frac{4}{v_{ч} + v_{т}} - \frac{15}{60} = 4\]

Упростив это уравнение, получим:

\[\frac{8v_{ч}}{v_{ч}^2 - v_{т}^2} - \frac{15}{60} = 4\]

Переведем время в часы:

\[\frac{8v_{ч}}{v_{ч}^2 - v_{т}^2} - \frac{1}{4} = 4\]

Выразим общий знаменатель:

\[\frac{8v_{ч} - (v_{ч}^2 - v_{т}^2)}{v_{ч}^2 - v_{т}^2} = 4\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[\frac{8v_{ч} - v_{ч}^2 + v_{т}^2}{v_{ч}^2 - v_{т}^2} = 4\]

Перенесем все члены уравнения влево и упростим:

\[v_{ч}^2 - 8v_{ч} + v_{т}^2 - 4(v_{ч}^2 - v_{т}^2) = 0\]

\[v_{ч}^2 - 8v_{ч} + v_{т}^2 - 4v_{ч}^2 + 4v_{т}^2 = 0\]

\[-3v_{ч}^2 - 6v_{ч} + 3v_{т}^2 = 0\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно \(v_{ч}\).

\[3v_{ч}^2 + 6v_{ч} - 3v_{т}^2 = 0\]

Применим квадратное уравнение: \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = -3v_{т}^2\).

\[v_{ч} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[v_{ч} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3v_{т}^2)}}{2 \cdot 3}\]

\[v_{ч} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 36v_{т}^2}}{6}\]

Подставим значение \(v_{т} = 4\) (скорость течения), и найдем корни этого уравнения.

\[v_{ч} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 36 \cdot 4^2}}{6}\]

\[v_{ч} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 576}}{6}\]

\[v_{ч} = \frac{-6 \pm \sqrt{612}}{6}\]

\[v_{ч} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{153}}{6}\]

Раскроем скобки под знаком процента.

\[v_{ч} = \frac{-6}{6} \pm \frac{2\sqrt{153}}{6}\]

\[v_{ч} = -1 \pm \frac{\sqrt{153}}{3}\]

Таким образом, скорость човна в стоячей воде будет равна \(v_{ч} = -1 + \frac{\sqrt{153}}{3}\) или \(v_{ч} = -1 - \frac{\sqrt{153}}{3}\).

Однако нам интересует только положительное значение скорости, так как скорость не может быть отрицательной. Поэтому окончательный ответ будет:

\(v_{ч} = -1 + \frac{\sqrt{153}}{3}\) км/ч.

Надеюсь, это подробное и пошаговое решение поможет вам лучше понять задачу и получить правильный ответ. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их!