Яка висота трикутника, якщо його площа дорівнює 25 кв.см, а висота вдвічі більша за сторону, до якої вона проведена?

Lastochka

54

Для решения данной задачи, нам нужно воспользоваться формулой для площади треугольника и информацией о соотношении между высотой и одной из его сторон.

Формула для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - одна из сторон треугольника, \(h_a\) - высота треугольника, проведенная к стороне \(a\).

Мы знаем, что площадь треугольника равна 25 кв.см, и что высота вдвое больше, чем сторона, к которой она проведена. Обозначим сторону треугольника как \(a\).

Значит, высота \(h_a\) будет равна \(2a\) по условию задачи.

Подставим эти значения в формулу для площади треугольника:

\[25 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[25 = a^2\]

Теперь решим квадратное уравнение относительно стороны треугольника \(a\). Приведем его к стандартному виду:

\[a^2 - 25 = 0\]

Получили квадратное уравнение со следующими коэффициентами: \(a^2 = 1\), \(a = 0\), \(c = -25\).

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае \(b = 0\) и \(a = 1\). Подставим значения и решим уравнение:

\[a = \frac{0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1}\]

\[a = \frac{\pm \sqrt{100}}{2}\]

\[a = \pm \frac{10}{2}\]

Так как сторона треугольника не может быть отрицательной, то отбрасываем отрицательное значение.

Получаем, что \(a = 5\).

Теперь найдем высоту треугольника \(h_a\) по условию задачи:

\[h_a = 2a = 2 \cdot 5 = 10\]

Таким образом, высота треугольника равна 10 см.