Яке є співвідношення обсягу циліндра до обсягу кулі після того, як була виточена найбільша куля з дерев яного циліндра

Yuriy

4

Давайте решим данную задачу. Пусть V_ціл - об"єм циліндра, V_кул - об"єм кулі, R - радіус циліндра і кулі. Нам потрібно знайти співвідношення між об"ємом циліндра та об"ємом кулі після того, як з циліндра виточили найбільшу можливу кулю.

Об"єм циліндра (V_ціл) обчислюється за формулою: V_ціл = П * R^2 * h, де П - число пі, R - радіус циліндра, h - висота циліндра.

Об"єм кулі (V_кул) обчислюється за формулою: V_кул = (4/3) * П * R^3.

З міркувань симетрії, найбільша куля має діаметр, який дорівнює діаметру основи циліндра. Оскільки діаметр циліндра рівний 2R, то радіус кулі також дорівнює R.

Тепер, якщо виточити кулю із дерев"яного циліндра, об"єм циліндра полегшиться на об"єм виточеної кулі. Тобто, новий об"єм циліндра (V_новий_ціл) буде дорівнювати старому об"єму циліндра (V_ціл) помінус об"єм кулі (V_кул).

Таким чином, V_новий_ціл = V_ціл - V_кул.

Підставляючи відповідні формули, отримуємо: V_новий_ціл = (П * R^2 * h) - ((4/3) * П * R^3).

Скористаємося тим, що h = 2R, тоді: V_новий_ціл = (П * R^2 * (2R)) - ((4/3) * П * R^3).

Звідси можна помітити, що в формулі є спільний множник П * R^2, тому ми можемо факторизувати його: V_новий_ціл = П * R^2 * (2R - (4/3) * R).

Спростивши вираз, отримаємо: V_новий_ціл = Π * R^2 * (2R - (4/3) * R).

Тоді, співвідношення об"єму циліндра до об"єму кулі після виточення найбільшої кулі можна записати як: $\frac{V_{н}ови{й}_{ц}іл}{V_{к}ул}=\frac{П\ast R^2\ast (2R-(4/3)\ast R)}{(4/3)\ast П\ast R^3}$.

Знаючи, що П скасується в чисельнику та знаменнику, ми отримуємо: $\frac{V_{н}ови{й}_{ц}іл}{V_{к}ул}=\frac{2R-(4/3)\ast R}{(4/3)\ast R^3}$.

Спростивши дріб, ми маємо: $\frac{V_{н}ови{й}_{ц}іл}{V_{к}ул}=\frac{6R/3-4R/3}{(4/3)\ast R^3}=\frac{2R/3}{(4/3)\ast R^3}$.

Знижуючи коефіцієнти, ми отримуємо: $\frac{V_{н}ови{й}_{ц}іл}{V_{к}ул}=\frac{2R}{4R^3}=\frac{1}{2R^2}$.

Отже, співвідношення об"єму циліндра до об"єму кулі після виточення найбільшої кулі буде $\frac{1}{2R^2}$.