Які довжини кола, описаного навколо правильного трикутника, та кола, вписаного в цей трикутник, якщо сторона трикутника

Cherepaha

31

Добрый день! Спасибо за ваш запрос. Для решения данной задачи о длинах описанного и вписанного кругов вокруг правильного треугольника, нам поможет некоторое знание о геометрических свойствах правильных треугольников. Давайте разберемся!

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все три стороны и все три угла равны между собой. Давайте обозначим длину стороны данного треугольника как $a$.

1. Длина окружности, описанной вокруг правильного треугольника:
По определению, описанная окружность - это окружность, проходящая через все вершины треугольника. Чтобы найти ее длину, нам понадобится радиус этой окружности.

Радиус описанной окружности правильного треугольника можно вычислить с помощью следующей формулы:
$$R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$
где $R$ - радиус описанной окружности, $\pi$ - число пи (приближенное значение 3,14159), $\sin \frac{\pi }{3}$ - значение синуса угла 60 градусов.

Теперь, чтобы найти длину окружности, нужно умножить радиус на длину окружности:
$$L=2\pi R=2\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi a}{\sqrt{3}}\approx \frac{6.28a}{\sqrt{3}}$$
где $L$ - длина окружности, $2\pi$ - приближенное значение числа $2\pi$ (приближенное значение 6,28318).

Получили формулу для длины окружности, описанной вокруг правильного треугольника.

2. Длина окружности, вписанной в правильный треугольник:
По определению, вписанная окружность - это окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Чтобы найти ее длину, нам понадобится радиус этой окружности.

Радиус вписанной окружности правильного треугольника можно вычислить с помощью следующей формулы:
$$r=\frac{a}{2\cdot \tan \frac{\pi }{6}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$
где $r$ - радиус вписанной окружности, $\tan \frac{\pi }{6}$ - значение тангенса угла 30 градусов.

Теперь, чтобы найти длину окружности, нужно умножить радиус на длину окружности:
$$L=2\pi r=2\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi a}{\sqrt{3}}\approx \frac{6.28a}{\sqrt{3}}$$
где $L$ - длина окружности.

Получили формулу для длины окружности, вписанной в правильный треугольник.

Таким образом, получили, что длины окружности, описанной вокруг правильного треугольника, и окружности, вписанной в этот треугольник, равны и приблизительно равны приближенно $\frac{6.28\cdot a}{\sqrt{3}}$.

Надеюсь, что ясно объяснил решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!