Які довжини кола, описаного навколо правильного трикутника, та кола, вписаного в цей трикутник, якщо сторона трикутника

Cherepaha

31

Добрый день! Спасибо за ваш запрос. Для решения данной задачи о длинах описанного и вписанного кругов вокруг правильного треугольника, нам поможет некоторое знание о геометрических свойствах правильных треугольников. Давайте разберемся!

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все три стороны и все три угла равны между собой. Давайте обозначим длину стороны данного треугольника как \(a\).

1. Длина окружности, описанной вокруг правильного треугольника:
По определению, описанная окружность - это окружность, проходящая через все вершины треугольника. Чтобы найти ее длину, нам понадобится радиус этой окружности.

Радиус описанной окружности правильного треугольника можно вычислить с помощью следующей формулы:
\[R = \frac{a}{2\sin{\frac{\pi}{3}}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\]
где \(R\) - радиус описанной окружности, \(\pi\) - число пи (приближенное значение 3,14159), \(\sin{\frac{\pi}{3}}\) - значение синуса угла 60 градусов.

Теперь, чтобы найти длину окружности, нужно умножить радиус на длину окружности:
\[L = 2\pi R = 2\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}} \approx \frac{6.28 a}{\sqrt{3}}\]
где \(L\) - длина окружности, \(2\pi\) - приближенное значение числа \(2\pi\) (приближенное значение 6,28318).

Получили формулу для длины окружности, описанной вокруг правильного треугольника.

2. Длина окружности, вписанной в правильный треугольник:
По определению, вписанная окружность - это окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Чтобы найти ее длину, нам понадобится радиус этой окружности.

Радиус вписанной окружности правильного треугольника можно вычислить с помощью следующей формулы:
\[r = \frac{a}{2\cdot\tan{\frac{\pi}{6}}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\]
где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(\tan{\frac{\pi}{6}}\) - значение тангенса угла 30 градусов.

Теперь, чтобы найти длину окружности, нужно умножить радиус на длину окружности:
\[L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}} \approx \frac{6.28 a}{\sqrt{3}}\]
где \(L\) - длина окружности.

Получили формулу для длины окружности, вписанной в правильный треугольник.

Таким образом, получили, что длины окружности, описанной вокруг правильного треугольника, и окружности, вписанной в этот треугольник, равны и приблизительно равны приближенно \( \frac{6.28 \cdot a}{\sqrt{3}}\).

Надеюсь, что ясно объяснил решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!