Які площа бічної поверхні циліндра, площа бічної поверхні конуса, площа основи конуса та площа повної поверхні

Ogon

5

Щоб знайти площу бічної поверхні циліндра, спочатку визначимо обертове тіло, з якого циліндр вписано: конус. За заданими умовами, радіус основи циліндра дорівнює 3 см, а висота - 4 см. Оскільки циліндр повністю поміщений всередину конуса, то радіус основи конуса буде більшим за радіус циліндра.

Для побудови конуса, спирались на наступні відомості:
1. Радіус основи циліндра - 3 см.
2. Висота циліндра - 4 см.

Площу бічної поверхні циліндра можна обчислити за формулою:

\[ S_{\text{біч циліндра}} = 2 \pi r h, \]

де \( r \) - радіус основи циліндра, \( h \) - висота циліндра.

Підставимо дані в формулу:

\[ S_{\text{біч циліндра}} = 2 \pi \cdot 3 \cdot 4 = 24 \pi \, \text{см}^2. \]

Таким чином, площа бічної поверхні циліндра дорівнює \( 24 \pi \, \text{см}^2 \).

Далі, знайдемо площу бічної поверхні конуса. У конусі бічна поверхня є відрізком від вершини конуса до його основи. Оскільки циліндр вписаний в конус, то вершина конуса знаходиться на верхньому основі циліндра. Це означає, що радіус основи конуса такий самий, як і у циліндра і дорівнює 3 см.

Площу бічної поверхні конуса можна обчислити за формулою:

\[ S_{\text{біч конуса}} = \pi r l, \]

де \( r \) - радіус основи конуса, \( l \) - образуюча конуса.

Образуюча конуса може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного радіусом основи конуса, образуючою і радіусом зкодкуди до вершини конуса. Образуюча \( l \) може бути обчислена за допомогою наступної формули:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2}, \]

де \( r \) - радіус основи конуса, \( h \) - висота циліндра.

Підставимо дані у формулу:

\[ l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}. \]

Тепер підставимо дані в формулу для площі бічної поверхні конуса:

\[ S_{\text{біч конуса}} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15 \pi \, \text{см}^2. \]

Отже, площа бічної поверхні конуса дорівнює \( 15 \pi \, \text{см}^2 \).

Тепер розглянемо площу основи конуса. Оскільки основа конуса є колом, її площа може бути обчислена за формулою:

\[ S_{\text{основи конуса}} = \pi r^2. \]

Підставимо дані у формулу:

\[ S_{\text{основи конуса}} = \pi \cdot 3^2 = 9 \pi \, \text{см}^2. \]

Отже, площа основи конуса дорівнює \( 9 \pi \, \text{см}^2 \).

Нарешті, знайдемо площу повної поверхні циліндра. За визначеною задачею, повна поверхня циліндра складається з бокової поверхні циліндра та двох основ циліндра. Тому площа повної поверхні циліндра може бути обчислена за формулою:

\[ S_{\text{повна циліндра}} = S_{\text{біч циліндра}} + 2 \cdot S_{\text{основи циліндра}}. \]

Підставимо обчислені значення:

\[ S_{\text{повна циліндра}} = 24 \pi + 2 \cdot 9 \pi = 24 \pi + 18 \pi = 42 \pi \, \text{см}^2. \]

Отже, площа повної поверхні циліндра дорівнює \( 42 \pi \, \text{см}^2 \).