Які значення мають периметри двох подібних многокутників, якщо сума їх периметрів становить 84 см, а відношення
Які значення мають периметри двох подібних многокутників, якщо сума їх периметрів становить 84 см, а відношення їх відповідних діагоналей дорівнює 9:5?
Летучая_Мышь 50
Перед тим, як розв"язувати дану задачу, давайте з"ясуємо, що таке подібні многокутники. Два многокутники вважаються подібними, якщо відношення довжин відповідних сторін цих многокутників є постійним значенням.Задача говорить про два подібних многокутники і дає нам інформацію про їх периметри та відношення відповідних діагоналей.
Позначимо периметр першого многокутника як \(P_1\) і периметр другого многокутника як \(P_2\).
Запишемо доведену в задачі інформацію:
\[P_1 + P_2 = 84 \text{ см}\]
\[ \frac{d_1}{d_2} = \frac{9}{5},\]
де \(d_1\) та \(d_2\) - відповідні діагоналі першого і другого многокутників.
З огляду на подібність многокутників, ми можемо сказати, що відношення периметрів їх сторін і периметрів їх діагоналей однакове. Тому:
\[\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2}.\]
Ми можемо використати цю співвідношення для знаходження значення однієї з невідомих величин, наприклад, \(P_1\).
Підставимо дані з задачі:
\[\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2} = \frac{9}{5}.\]
Домножимо обидві частини на \(P_2\), щоб позбутися окремих змінних:
\[P_1 = \frac{9}{5} \cdot P_2.\]
Тепер, підставивши це значення \(P_1\) в перше рівняння, отримаємо:
\[\frac{9}{5} \cdot P_2 + P_2 = 84.\]
Зведемо подібні дроби:
\[\frac{9P_2}{5} + \frac{5P_2}{5} = 84.\]
Складемо дроби:
\[\frac{14P_2}{5} = 84.\]
Тепер перемножимо обидві частини рівняння на \(\frac{5}{14}\), щоб виразити \(P_2\):
\[P_2 = \frac{5}{14} \cdot 84.\]
Розрахуємо значення \(P_2\):
\[P_2 = 30\text{ см}.\]
Тепер можемо знайти значення \(P_1\):
\[P_1 = \frac{9}{5} \cdot P_2 = \frac{9}{5} \cdot 30 = 54\text{ см}.\]
Таким чином, периметр першого многокутника \(P_1\) дорівнює 54 см, а периметр другого многокутника \(P_2\) дорівнює 30 см.