Яким буде радіус кола, вписаного у квадрат, побудованого на стороні правильного трикутника вписаного у коло радіусом

Денис

41

Для решения этой задачи нам необходимо провести некоторые геометрические построения и воспользоваться известными свойствами фигур.

Давайте начнем с построения. У нас есть правильный треугольник, вписанный в окружность с радиусом R. Известно, что вписанный в треугольник круг касается сторон треугольника. Причем, данный треугольник является основанием для построения квадрата.

Предлагаю назвать основание треугольника AB, а середину стороны AB обозначим точкой M. Также обозначим точку касания вписанного круга с основанием треугольника AB как точку T.

Теперь, давайте рассмотрим квадрат ABCD, построенный на стороне треугольника. Поскольку сторона квадрата равна стороне треугольника, то от точки B проведем перпендикуляр к стороне CD и обозначим точку пересечения с вписанным кругом как точку P.

Ответим теперь на вопрос о радиусе вписанного круга в квадрат. Обозначим радиус данного круга как r.

Важным свойством круга обладает касательная, которая проведена из точки касания к основанию AB и перпендикулярна основанию. Поэтому сторона квадрата AB равна диаметру вписанного круга. Это означает, что AB = 2r.

Также, поскольку от точки B проведена перпендикулярная, а от точки P - радиус, мы можем увидеть, что BP = r. Таким образом, внутри квадрата у нас будет прямоугольный треугольник BMP, в котором известны гипотенуза BM и катет BP. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы BM.

Итак, применяя теорему Пифагора, получаем:

\[BM^2 = BP^2 + MP^2\]
\[BM^2 = r^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[BM^2 = r^2 + \left(\frac{2r}{2}\right)^2\]
\[BM^2 = r^2 + r^2\]
\[BM^2 = 2r^2\]

Теперь мы можем найти радиус R для вписанного окружности треугольника, зная радиус r для вписанного круга квадрата. Для этого достаточно удвоить значение BM.

\[R = 2BM = 2\sqrt{2r^2} = 2r\sqrt{2}\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в квадрат, построенный на стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиусом R, равен \(R = 2r\sqrt{2}\).

Ниже представлен малюнок, где систематически отображены основные элементы:

\[имг\]

Надеюсь, что объяснение и построение помогли вам понять решение задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.