Яким числом закінчуватиметься число, піднесене до степеня: 6 в степені 55; 5 в степені 12; 9 в степені 78; 2 в степені

Muha

8

Добро пожаловать! Для решения этой задачи, мы будем использовать понятие остатка от деления числа на другое число.

Давайте рассмотрим каждое число из задачи по отдельности:

Поскольку мы ищем последнюю цифру, нас интересует только остаток от деления числа на 10.

1) Рассмотрим выражение \(6^{55}\).

Найдем остатки от деления каждой степени числа 6 на 10:

\[
6^1 \equiv 6 \mod 10
\]
\[
6^2 \equiv 6 \cdot 6 \equiv 36 \equiv 6 \mod 10
\]
\[
6^3 \equiv 6 \cdot 6 \cdot 6 \equiv 216 \equiv 6 \mod 10
\]
\(\dots\)

Мы видим, что остаток от деления каждого числа в степени 6 на 10 всегда равен 6. Следовательно, число \(6^{55}\) также заканчивается на 6.

2) Теперь рассмотрим выражение \(5^{12}\).

\[
5^1 \equiv 5 \mod 10
\]
\[
5^2 \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv 5 \mod 10
\]
\[
5^3 \equiv 5 \cdot 5 \cdot 5 \equiv 125 \equiv 5 \mod 10
\]
\(\dots\)

Из этого мы видим, что остаток от деления каждого числа в степени 5 на 10 также равен 5. Следовательно, число \(5^{12}\) заканчивается на 5.

3) Теперь рассмотрим выражение \(9^{78}\).

\[
9^1 \equiv 9 \mod 10
\]
\[
9^2 \equiv 9 \cdot 9 \equiv 81 \equiv 1 \mod 10
\]
\[
9^3 \equiv 9 \cdot 9 \cdot 9 \equiv 729 \equiv 9 \mod 10
\]
\(\dots\)

Мы видим, что остаток от деления каждого числа в степени 9 на 10 равен 9 при нечетном степени, и равен 1 при четном степени. В данном случае, 78 - четное число, поэтому остаток будет равен 1. Следовательно, число \(9^{78}\) заканчивается на 1.

4) И наконец, рассмотрим выражение \(2^{55}\).

\[
2^1 \equiv 2 \mod 10
\]
\[
2^2 \equiv 2 \cdot 2 \equiv 4 \mod 10
\]
\[
2^3 \equiv 2 \cdot 2 \cdot 2 \equiv 8 \mod 10
\]
\(\dots\)

Как мы видим, остаток от деления каждого числа в степени 2 на 10 принимает значения 2, 4, 8, 6, и затем повторяется циклически. Так как 55 делится на 4 с остатком 3, нам нужно найти третий элемент этого циклического шаблона, который равен 8. Следовательно, число \(2^{55}\) заканчивается на 8.

Надеюсь, данное подробное объяснение помогло вам понять, как получить ответ для каждой задачи.