Якщо проведено дві дотичні, АС і АВ, такі, що кут САВ дорівнює 60°, а відстань від точки А до центра кола дорівнює

Смурфик_9853

37

Для решения этой задачи можно использовать некоторые особенности геометрических свойств касающихся окружностей и дотичных. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с построения ситуации по условию задачи. Рисуем окружность с центром O и радиусом r. Рисуем точку А, удаленную от центра O на расстоянии 16 см (дано в условии). Далее, проведем две касательные от точки А, которые будут пересекаться в точке С.

\[
\begin{equation}
\begin{split}
&\text{А -- -- -- - - - -- -- -- С} \\
&\text{О - - - - - - - - - - - - А} \\
\end{split}
\end{equation}
\]

2. Так как касательная является перпендикуляром к радиусу, то у нас получается прямоугольный треугольник САО. Давайте обозначим угол САВ как α, согласно условию задачи он равен 60°.

\[
\begin{equation}
\begin{split}
&\text{А -- -- -- - - - -- -- -- С} \\
&\text{О - - - - - - Α} \\
\end{split}
\end{equation}
\]

3. У нас задан угол α и гипотенуза треугольника (отрезок ОА), необходимо найти катеты треугольника. Один из катетов будет равен радиусу окружности, который нам и нужно найти.

4. Используя геометрическую связь между углами треугольника, получаем следующее:

\(\sin(\alpha) = \frac{r}{16}\)

5. Решим это уравнение для нахождения радиуса \(r\):

\(r = 16 \cdot \sin(60°)\)

Подставляя в эту формулу значение синуса угла 60°, получаем:

\(r = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\)

Таким образом, радиус этой окружности равен \(8\sqrt{3}\) сантиметрам.